变限积分也是一种特殊的定积分：能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算

一、题目

已知 $f(x)$ 有连续的一阶导数，$f(0)=0$, $f(a)=1$, $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{d} t$, 则 $F(2 a)-2 F(a) = ?$

$$
(A) \quad 2
$$

$$
(B) \quad 0
$$

$$
(C) \quad 1
$$

$$
(D) \quad -1
$$

难度评级：

二、解析

方法 1：特例法

令：

$$
f(x)=x
$$

则：

$$
F(x)=\int_{0}^{x} x d x \Rightarrow
$$

$$
F(2 a)-2 F(a)=\int_{0}^{2 a} x d x-2 \int_{0}^{a} x d x \Rightarrow
$$

$$
\left.\frac{1}{2} x^{2}\right|_{0} ^{2 a}-\left.2 \cdot \frac{1}{2} x^{2}\right|_{0} ^{a} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2} \cdot 4 a^{2}-a^{2}=2 a^{2}-a^{2}=a^{2}
$$

又：

$$
f(a)=1 \Rightarrow a=1
$$

所以：

$$
F(2 a)-2 F(a)=a^{2}=1
$$

方法 2：直接转为定积分进行运算

$$
F(2 a)-2 F(a)=
$$

$$
\int_{0}^{2 a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t-2 \int_{0}^{a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t+\int_{a}^{2 a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t-
$$

$$
2 \int_{0}^{a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
\int_{a}^{2 a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t} – \int_{0}^{a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t.
$$

又：

$$
\textcolor{orange}{
\int_{a}^{2 a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t } \Rightarrow
$$

$$
k=2 a-t, \quad \mathrm{~ d} t=2 a-k \Rightarrow
$$

$$
t \in(a, 2 a), \quad \mathrm{~ d} k \in(a, 0), \quad \mathrm{~ d} t=-\mathrm{~ d} k \Rightarrow
$$

$$
(-1 )\int_{a}^{0} f(2 a-k) f^{\prime}(k) \mathrm{~ d} k \Rightarrow \int_{0}^{a} f^{\prime}(k) f(2 a-k) \mathrm{~ d} k \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{a} f(2 a-k) d[f(k)] \Rightarrow
$$

$$
f(k) f^{2}(2 a-k)\Big|_{0} ^{a}+ \int_{0}^{a} f(k) f^{\prime}(2 a-k) \mathrm{~ d} k \Rightarrow
$$

$$
f^{2}(a)-f(0) f(2 a)=f^{2}(a) + \int_{0}^{a} f(k) f^{\prime}(2 a-k) \mathrm{~ d} k \Rightarrow
$$

$$
f^{2}(a)-f(0) f(2 a)=f^{2}(a) + \int_{0}^{a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t.
$$

于是：

$$
F(2 a)-2 F(a)=f^{2}(a) +
$$

$$
\int_{0}^{a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t-\int_{0}^{a} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{~ d} t=
$$

$$
f^{2}(a)=1^{2}=1.
$$

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