解题不一定要单打独斗：单式问题变双式问题

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) \cos x \mathrm{~d} x=A$, 则 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) x \sin x \mathrm{~d} x=?$

$$
(A) \quad 0
$$

$$
(B) \quad A
$$

$$
(C) \quad -A
$$

$$
(D) \quad 2 A
$$

难度评级：

二、解析

既然所给的选项全都可以 $A$ 有关系，$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) \cos x \mathrm{~d} x=A$ 也和 $A$ 有关系，因此，$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) \cos x \mathrm{~d} x$ 与 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) x \sin x \mathrm{~d} x$ 结合的式子也一定和 $A$ 有关系，于是，可以将这两个式子放一块进行计算。

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) \cos x \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) x \sin x \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x)[\cos x-x \sin x] \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
(x \cos x)^{\prime}=\cos x-x \sin x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) \mathrm{~d} (x \cos x) \Rightarrow
$$

注意：上面的式子只是做了凑微分，并没有进行变量替换，因此，积分上下限不用改变。

若 $F^{\prime}(u)=f(u)$

$$
F(x \cos x) \Big|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}= F\left(\frac{\pi}{2} \cdot 0\right)-F(0 \cdot 1) \Rightarrow
$$

$$
F(0)-F(0)=0
$$

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