一、题目
已知:
$$
\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}=3 t^{2}+2 \pi t+1, \\ t \sin y=y-\frac{\pi}{2}, \end{array}\right.
$$
其中,$t \geqslant 0$.
则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$ $=$ $?$
难度评级:
二、解析
由题可知:
$$
x=0 \Rightarrow e^{x}=3 t^{2}+2 \pi t+1 \Rightarrow
$$
$$
1=3 t^{2}+2 \pi t+1 \Rightarrow
$$
$$
3 t^{2}+2 \pi t=0 \Rightarrow
$$
$$
\begin{cases}
& x = 0 \\
& t = 0 \\
& y = \frac{\pi}{2}
\end{cases}
$$
且:
$$
\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x}
$$
于是:
$$
t \sin y=y-\frac{\pi}{2} \Rightarrow 把 y 看作 t 的函数 \Rightarrow
$$
$$
\sin y+t \cdot \cos y \cdot \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \Rightarrow
$$
$$
t=0, y=\frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$
$$1+0=\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t} \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}=1
$$
$$
e^{x}=3 t^{2}+2 \pi t+1 \Rightarrow 把 t 看作 x 的函数 \Rightarrow
$$
$$
e^{x}=6 t \cdot \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x}+2 \pi \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x} \Rightarrow
$$
$$
x=0, t=0 \Rightarrow 1=2 \pi \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x} \Rightarrow \frac{\mathrm{~d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{2 \pi}
$$
综上可知:
$$
\left.\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=1 \times \frac{1}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi}.
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题!