直接用求导公式求导太复杂时就要尝试用使用导数的定义求导：只适用于求解一点处的导数

一、题目

已知

$$
z = \left(y^x+\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2 y^2}}\right)^{\sqrt{x^2+y^2}}
$$

则 $\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,1)}$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

类似于《只对 x 求偏导时，y 的值可以提前代入》这篇文章中所介绍的方法，由于这里只对 $x$ 求偏导，因此，我们可以先将 $y = 1$ 代入到原式中，以降低式子的复杂程度：

$$
z(x, 1) = \left(1^x+\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2 \cdot 1^2}}\right)^{\sqrt{x^2+1^2}} \Rightarrow
$$

$$
z(x, 1) = \left(1 + \frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2}}\right)^{\sqrt{x^2 + 1}}.
$$

Next

但是，我们发现，直接对上面的式子使用求导公式进行求导运算仍然太过复杂——

由于这里要求解的其实是位于一点处的导数值，因此，我们可以尝试使用导数的定义进行求解：

Next

令 $z(x, 1)$ $=$ $\phi(x)$, 则：

$$
\phi^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\phi(x) – \phi(0)}{x} \Rightarrow
$$

$$
\phi^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\phi(x) – 1}{x} \Rightarrow
$$

$$
\phi^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left(1 + \frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2}}\right)^{\sqrt{x^2 + 1}} – 1}{x} \Rightarrow
$$

根据等价无穷小 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{a} – 1$ $\sim$ $ax$ $\Rightarrow$

注 意：在上面使用的等价无穷小的公式中，$a$ 就相当于一个“篮子”，什么都可以装，可以用于替换成任何式子，无论这个式子是一个数字，还是一个不趋于零的含有变量的式子。

$$
\phi^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} \frac{\sin x}{\sqrt{x^2+2}}}{x} \Rightarrow
$$

$$
\phi^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2+2}}}{x} \Rightarrow
$$

$$
\phi^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sin x}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2+2}} \Rightarrow
$$

$$
\phi^{\prime}(0) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{2} } = \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$

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