存在两类及以上不同函数的式子就尝试用分部积分：$\int$ $\frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int \frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

观察可知，本题所给的被积函数是一个有理函数，而且该有理函数是由三角函数、对数函数和幂函数三种不同的函数经过加减乘除的有理运算构成的，于是：

1. 由于分部积分可以将不容易积分的部分变成求导运算，因此，对于这种存在两类及以上不同函数的式子，我们一般可以考虑使用分部积分；
2. 在使用分部积分时，我们要设法使三角函数、对数函数这类不容易进行积分运算的部分变成求导运算。

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因为：

$$
(x^{\frac{1}{2}})^{\prime} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}.
$$

所以，有：

$$
\int \frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \int (\arcsin \sqrt{x} + \ln x) \mathrm{d} (\sqrt{x}) =
$$

$$
2 \int \arcsin \sqrt{x} \mathrm{d} (\sqrt{x}) + 2 \int \ln x \mathrm{d} (\sqrt{x}) \Rightarrow
$$

Next

分部积分 $\Rightarrow$

$$
2 \Big[ \sqrt{x} \arcsin \sqrt{x} – \int \sqrt{x} \mathrm{d} (\arcsin \sqrt{x}) + \sqrt{x} \ln x – \int \sqrt{x} \mathrm{d} (\ln x) \Big].
$$

Next

其中：

$$
\int \sqrt{x} \mathrm{d} (\arcsin \sqrt{x}) =
$$

$$
\int \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-x}} \mathrm{d} x = – \sqrt{1 – x} + C.
$$

Next

继续：

$$
\int \sqrt{x} \mathrm{d} (\ln x) = \int \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \sqrt{x} \cdot \frac{1}{(\sqrt{x})^{2}} \mathrm{d} x = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = 2 \sqrt{x} + C
$$

Next

于是：

$$
2 \Big[ \sqrt{x} \arcsin \sqrt{x} – \int \sqrt{x} \mathrm{d} (\arcsin \sqrt{x}) + \sqrt{x} \ln x – \int \sqrt{x} \mathrm{d} (\ln x) \Big] =
$$

$$
2 \Big[ \sqrt{x} \arcsin \sqrt{x} + \sqrt{1 – x} + \sqrt{x} \ln x – 2 \sqrt{x} \Big] =
$$

$$
2 \sqrt{x} \arcsin \sqrt{x} + 2\sqrt{1 – x} + 2\sqrt{x} \ln x – 4 \sqrt{x} + C
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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