求导一定要“彻底”：以 $\arcsin \sqrt{x}$ 为例

一、题目

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = ?
$$

难度评级：

二、解析

我们知道：

$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$

Next

但是，下面这个结论是错误的：

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – (\sqrt
x)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}}
$$

这是因为，$\arcsin \sqrt{x}$ 其实是一个复合函数，我们求导的对象是 $x$, 而不是 $\sqrt{x}$.

Next

因此，正确的结论是：

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}} \times (\sqrt{x})^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}} \times (x^{\frac{1}{2}})^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}} \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow
$$

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \times \frac{1}{\sqrt{1 – x}}.
$$

Next

综上可知，我们在进行求导运算时，一定要想一想是不是在对复合函数求导，我们的求导是否已经进行“彻底”了。

---