求导一定要“彻底”:以 $\arcsin \sqrt{x}$ 为例

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = ?
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

我们知道:

$$
(\arcsin x)^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$

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但是,下面这个结论是错误的:

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – (\sqrt
x)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}}
$$

这是因为,$\arcsin \sqrt{x}$ 其实是一个复合函数,我们求导的对象是 $x$, 而不是 $\sqrt{x}$.

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因此,正确的结论是:

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}} \times (\sqrt{x})^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}} \times (x^{\frac{1}{2}})^{\prime} \Rightarrow
$$

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1 – x}} \times \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow
$$

$$
(\arcsin \sqrt{x})^{\prime} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \times \frac{1}{\sqrt{1 – x}}.
$$

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综上可知,我们在进行求导运算时,一定要想一想是不是在对复合函数求导,我们的求导是否已经进行“彻底”了。


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