避坑指南：应用公式 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{a}$ $\arctan \frac{x}{a}$ $+$ $C$ 时的注意要点

一、前言

首先，大家看一看，下面的计算步骤是否正确：

$$
\int \frac{x^{2}}{1+2x^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} + \frac{2x^{2}}{x^{2}}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 2} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{(\sqrt{2})^{2} + (\frac{1}{x})^{2}} \mathrm{d} x = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\sqrt
2}{2 x} + C.
$$

本文中的 $C$ 表示任意常数。

二、正文

本文前言部分所给出的计算步骤是错误的。

因为，观察 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式可知：

$$
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \Rightarrow
$$

$$
\int \frac{1}{a^{2} + \textcolor{red}{\square}^{2}} \mathrm{d} \textcolor{red}{\square} = \frac{1}{a} \arctan \frac{\textcolor{red}{\square}}{a} + C.
$$

Next

也就是说，$\mathrm{d} \square$ 中的积分变量 $\square$ 必须和积分式子 $\frac{1}{a^{2} + \square^{2}}$ 中的 $\square$ 完全一样才可以，即：

$$
\int \frac{1}{(\sqrt{2})^{2} + (\frac{1}{x})^{2}} \mathrm{d} (\frac{1}{x}) \textcolor{yellow}{=} \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\sqrt
2}{2 x} + C.
$$

$$
\int \frac{1}{(\sqrt{2})^{2} + (\frac{1}{x})^{2}} \mathrm{d} x \textcolor{white}{\neq} \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\sqrt
2}{2 x} + C.
$$

Next

此外，一般情况下，如果积分变量 $\square$ 是包含系数的，我们一般是先将这个系数提取出来，再应用公式进行求解。例如：

$$
\int \frac{1}{1+2x^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + x^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\frac{1}{2} \int \frac{1}{\frac{1}{2} + x^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\frac{1}{2} \int \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan (\sqrt{2} x) + C
$$

上面的计算步骤是正确的。

Next

根据前面的阐述，下面的这个计算步骤则是错误的：

$$
\int \frac{1}{1+2x^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{1}{1 + (\sqrt{2}x)^{2}} \mathrm{d} x = \arctan (\sqrt{2} x) + C.
$$

Next

推广可知，在使用下面这些公式的时候都需要注意避开前文所述的这个“坑”：

$$
\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C
$$

$$
\int \frac{1}{x^{2} – a^{2}} \mathrm{d} x = \frac{1}{2a} \ln \Big| \frac{x-a}{x+a} \Big| + C
$$

$$
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} \mathrm{d} x = \arcsin \frac{x}{a} + C
$$

$$
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} \mathrm{d} x = \ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C
$$

$$
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} – a^{2}}} \mathrm{d} x = \ln |x + \sqrt{x^{2} – a^{2}}| + C
$$

---