“区间再现”之于定积分,就如同“洛必达”之于极限:适用性很强!

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,根据“区间再现公式”,令:

$$
t = \frac{\pi}{2} + 0 – x = \frac{\pi}{2} – x
$$

于是:

$$
x = \frac{\pi}{2} – t
$$

$$
\mathrm{d} x = – \mathrm{d} t
$$

$$
x \in (0, \frac{\pi}{2}) \Rightarrow t \in (\frac{\pi}{2}, 0)
$$

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进而:

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
– \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\sin (\frac{\pi}{2} – t)}{\sin (\frac{\pi}{2} – t) + \cos (\frac{\pi}{2} – t)} \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

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根据“奇变偶不变,符号看象限”原理,有:

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t}{\cos t + \sin t} \mathrm{d} t.
$$

即:

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \mathrm{d} x
$$

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因此:

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\frac{1}{2} \Bigg[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \mathrm{d} x \Bigg] =
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{d} x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.
$$


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