计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}$

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

本题最常见的错误解法就是认为，当 $n \rightarrow$ $\infty$ 时，$(n + 1)^{n}$ 中的 $1$ 可以忽略，从而有：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n)^{n}} = 1.
$$

但是，由于 $(n + 1)^{n}$ 中的指数是一个无穷大 $n$, 因此，任何一点增加量（比如这里的 $1$）都会在无数次指数运算之后具有相当大的影响，因此，这里的 $1$ 是不能被忽略的。

Next

正确的解法如下：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{n^{n} \cdot (1+\frac{1}{n})^{n}} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}} = \frac{1}{e}.
$$

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