计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}}$

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = ?
$$

其中 $a_{i}$ $>$ $0$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $m$ $)$.

难度评级：

二、解析

由题可知，$m$ 是一个有限大小的实数，因此，$\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}}$ 只包含有限个 $a_{i}$.

当 $n$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，$a_{1}^{n}$, $a_{2}^{n}$, $\cdots$, $a_{m}^{n}$ 都可能趋于无穷大——但是，我们只需要考虑最大的那个无穷大就可以了，因为最大的无穷大会比其他所有的无穷大都“无穷大”。

Next

于是，设：

$$
\mathrm{max} \{a_{i}\} = a
$$

其中，$a$ 是一个实数。

Next

则：

$$
\sqrt[n]{a^{n}} \leqslant \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} \leqslant \sqrt[n]{m \cdot a^{n}} \Rightarrow
$$

$$
a \leqslant \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} \leqslant a \cdot m^{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

$$
a \leqslant \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} \leqslant a \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = a.
$$

总结可知，一个包含无穷大的式子最终的值，取决于最大的那个无穷大。

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