计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}}$

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}} = ?
$$

其中，$x$ $>$ $0$.

对变量取值范围的讨论是解答本题的重点，详情见下文……

难度评级：

二、解析

本题中存在两个变量，一个是 $n$, 另一个是 $x$——其中，$n$ 的变化方式题目中已经给出，即 $n$ $\rightarrow$ $\infty$——但是，我们现在只知道 $x$ $>$ $0$, 却不知道 $x$ 取值的具体细节。

观察题目可知，对 $x$ 的取值是需要分类讨论的，最直接的地方就是：

当 $x$ $>$ $1$ 时，$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x^{n}$ 远大于 $1$;

但当 $x$ $<$ $1$, $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x^{n}$ 则远小于 $1$.

Next

即：

$$
\left\{\begin{matrix}
\lim_{n \rightarrow \infty} x^{n} \rightarrow \infty, & x > 1 \\
\lim_{n \rightarrow \infty} x^{n} = 1, & x = 1 \\
\lim_{n \rightarrow \infty} x^{n} \rightarrow 0, & 0 < x < 1
\end{matrix}\right.
$$

Next

进一步观察可知：

$$
(\frac{x^{2}}{2})^{n} = (\frac{x}{2} \cdot x)^{n} = x^{n} \cdot (\frac{x}{2})^{n}.
$$

因此（$n \rightarrow \infty$ 时）：

当 $x$ $>$ $2$ 时，$x^{n}$ $\cdot$ $(\frac{x}{2})^{n}$ 会变得远大于 $1$ 和 $x^{n}$；

当 $x$ $<$ $2$ 时，$x^{n}$ $\cdot$ $(\frac{x}{2})^{n}$ 会变得远小于 $x^{n}$.

Next

于是，我们需要把 $x$ 的取值范围划分为如下三段：

$0$ $<$ $x$ $<$ $1$

$1$ $\leqslant$ $x$ $<$ $2$

$x$ $\geqslant$ $2$

Next

进而，对于 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}}$ 而言：

当 $0$ $<$ $x$ $<$ $1$ 时，$x^{n}$ $\rightarrow$ $0$, $(\frac{x^{2}}{2})^{n}$ $\rightarrow$ $0$.

当 $1$ $\leqslant$ $x$ $<$ $2$ 时，$x^{n}$ 远大于 $1$ 和 $(\frac{x^{2}}{2})^{n}$.

当 $x$ $\geqslant$ $2$ 时，$(\frac{x^{2}}{2})^{n}$ 远大于 $1$ 和 $x_{n}$.

Next

综上可知：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}} =
$$

$$
\left\{\begin{matrix}
1, & 0 < x < 1 \\
\sqrt[n]{x^{n}}, & 1 \leqslant x < 2 \\
\sqrt[n]{(\frac{x^2}{2})^{n}}, & x \geqslant 2
\end{matrix}\right. =
$$

$$
\left\{\begin{matrix}
1, & 0 < x < 1 \\
x, & 1 \leqslant x < 2 \\
\frac{x^2}{2}, & x \geqslant 2
\end{matrix}\right.
$$

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