什么是极大无关组？

一、前言

向量组的 极 大 无 关 组 在研究矩阵的 秩 以及线性方程组的 基 础 解 系 等方面发挥着重要的作用，在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将给出一个关于 什 么 是 极 大 无 关 组 的详细定义。

二、正文

如果向量组 $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{1}}}$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{2}}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{m}}}$ 是向量组 $\alpha_{\textcolor{cyan}{1}}$, $\alpha_{\textcolor{cyan}{2}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{cyan}{s}}$ 的一个 极 大 无 关 组 ，则必须同时 满 足 以下三个 条 件 ：

1. 向量组 $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{1}}}$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{2}}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{m}}}$ 是原向量组 $\alpha_{\textcolor{cyan}{1}}$, $\alpha_{\textcolor{cyan}{2}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{cyan}{s}}$ 的 一 部 分 ；
2. 向量组 $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{1}}}$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{2}}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{m}}}$ 线 性 无 关 ；
3. 从原向量组 $\alpha_{\textcolor{cyan}{1}}$, $\alpha_{\textcolor{cyan}{2}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{cyan}{s}}$ 中，继续取出任意一个向量 $\textcolor{yellow}{\alpha}_{\textcolor{red}{r_{k}}}$ 添加到向量组 $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{1}}}$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{2}}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{m}}}$ 中，都会导致新得到的向量组 $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{1}}}$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{2}}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{m}}}$, $\textcolor{yellow}{\alpha}_{\textcolor{red}{r_{k}}}$ 线 性 相 关 ；
4. 原向量组 $\alpha_{\textcolor{cyan}{1}}$, $\alpha_{\textcolor{cyan}{2}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{cyan}{s}}$ 中的任意一个向量均可由向量组 $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{1}}}$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{2}}}$, $\cdots$, $\alpha_{\textcolor{orange}{r_{m}}}$ 线 性 表 示 。

满足以上条件的向量组就是一个极大无关组。

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