矩阵的秩与相关推论

一、定义

有关矩阵 的标准 如下:

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ $\times$ $n$ 矩阵,如果 $\boldsymbol{A}$ 中 $\textcolor{orange}{r}$ 阶子式 $\textcolor{white}{0}$, 而 的 $\textcolor{orange}{r}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{1}$ 阶子式 $\textcolor{white}{0}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 的非零子式的最高阶数为 $r$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\textcolor{orange}{r}$, 记作 $r(\boldsymbol{A})$. 同时,规定零矩阵的秩为 $0$.

二、推论

由矩阵的秩的定义可得如下

  • $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $=$ $r$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 中存在 $r$ 阶子式不为 $0$, 而所有的 $r$ $+$ $1$ 阶子式全为 $0$.
  • $r(\boldsymbol{A})$ $<$ $r$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 中 $r$ 阶子式全为 $0$.
  • $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\boldsymbol{r}$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 中存在 $r$ 阶子式不为 $0$.
  • $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $=$ $0$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{O}$.
  • $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $1$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\boldsymbol{O}$.

其中,$\boldsymbol{O}$ 表示零矩阵。


考研数学思维导图 | 荒原之梦
考研数学思维导图 | 荒原之梦

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!