一、定义
有关矩阵 秩 的标准 定 义 如下：
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ $\times$ $n$ 矩阵，如果 $\boldsymbol{A}$ 中 存 在 $\textcolor{orange}{r}$ 阶子式 不 为 $\textcolor{white}{0}$, 而 所 有 的 $\textcolor{orange}{r}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{1}$ 阶子式 全 为 $\textcolor{white}{0}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 的非零子式的最高阶数为 $r$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\textcolor{orange}{r}$, 记作 $r(\boldsymbol{A})$. 同时，规定零矩阵的秩为 $0$.
二、推论
由矩阵的秩的定义可得如下 结 论 ：
- $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $=$ $r$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 中存在 $r$ 阶子式不为 $0$, 而所有的 $r$ $+$ $1$ 阶子式全为 $0$.
- $r(\boldsymbol{A})$ $<$ $r$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 中 $r$ 阶子式全为 $0$.
- $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\boldsymbol{r}$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ 中存在 $r$ 阶子式不为 $0$.
- $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $=$ $0$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{O}$.
- $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $1$ $\textcolor{tan}{\Leftrightarrow}$ $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\boldsymbol{O}$.
其中，$\boldsymbol{O}$ 表示零矩阵。
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