高数极限小技巧：$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 默认就是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$

一、问题描述

在做有些涉及极限的题目时，我们常常会遇到下面这样的表述：

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}
$$

但是，我们可能会产生这样的疑问：

$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 既不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$, 也不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}}$, 那么，在计算含有 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 的式子时该怎么计算，需要 分 类 讨 论 嘛？

二、解决方案

这里，我们先假设计算含有 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 的式子需要分类讨论，那么，例如下面这个式子：

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}} \frac{2^{n} + 1}{2^{n} – 1} = ?
$$

于是，当 $n$ $\rightarrow$ $+ \infty$ 时，有 ：

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}} 2^{n} \rightarrow + \infty
$$

因 此 ：

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}} \frac{2^{n} + 1}{2^{n} – 1} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}} \frac{2^{n}}{2^{n}} = 1.
$$

当 $n$ $\rightarrow$ $\textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}$ 时，有 ：

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}} 2^{n} \rightarrow 0.
$$

因 此 ：

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}} \frac{2^{n} + 1}{2^{n} – 1} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}} \frac{0 + 1}{0 – 1} = -1.
$$

根据上面的计算可知，当 $n$ $\rightarrow$ $\textcolor{cyan}{+} \textcolor{orange}{\infty}$ 和当 $n$ $\rightarrow$ $\textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}$ 时，$\frac{2^{n} + 1}{2^{n} – 1}$ 的极限是不相等的，那么，是否可以说明，$\frac{2^{n} + 1}{2^{n} – 1}$ 的极限是不存在的呢？

Next

然而，$\frac{2^{n} + 1}{2^{n} – 1}$ 极限 肯 定 是 存 在 的。

这是因为，当题目中只给出了 $n$ $\rightarrow$ $\textcolor{orange}{\infty}$, 而未说明是 $n$ 是趋于正无穷还是负无穷时，我们直接默认是 $n$ $\rightarrow$ $\textcolor{cyan}{+} \textcolor{orange}{\infty}$ 就可以了，即 ：

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}} \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}
$$

因此，对于前面的题目而言，应 有 ：

$$
\textcolor{red}{
\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}} \frac{2^{n} + 1}{2^{n} – 1} = \lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}} \frac{2^{n}}{2^{n}} = \frac{1}{1} = 1}.
$$

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