矩阵的三种初等变换详解

一、前言

在考研数学的《线性代数》这一科目中，矩阵的三种初等变换是一个基础且重要的组成部分，在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将会用简明直观的方式逐一解析这三种初等变换。

二、正文

矩阵的初等变换一共有三种形式，如下：

1. 第一种初等变换

变换方式：

交换矩阵中某两行（列）的位置。

举例：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\bigtriangleup} & \textcolor{orange}{\bigtriangleup} & \textcolor{orange}{\bigtriangleup}\\
\bigcirc & \bigcirc & \bigcirc\\
\textcolor{cyan}{\Box} & \textcolor{cyan}{\Box} & \textcolor{cyan}{\Box}
\end{bmatrix}
$$

交换矩阵第 $1$ 行和第 $3$ 行元素的位置 $\textcolor{white}{\Rightarrow}$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{cyan}{\Box} & \textcolor{cyan}{\Box} & \textcolor{cyan}{\Box}\\
\bigcirc & \bigcirc & \bigcirc\\
\textcolor{orange}{\bigtriangleup} & \textcolor{orange}{\bigtriangleup} & \textcolor{orange}{\bigtriangleup}
\end{bmatrix}
$$

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2. 第二种初等变换

变换方式：

用一个非零常数 $k$ 乘以矩阵的某一行（列）。

举例：

$$
\begin{bmatrix}
\bigtriangleup & \bigtriangleup & \bigtriangleup\\
\textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{orange}{\bigcirc}\\
\Box & \Box & \Box
\end{bmatrix}
$$

用非零常数 $k$ 乘以矩阵的第 $2$ 行的元素 $\textcolor{white}{\Rightarrow}$

$$
\textcolor{cyan}{k}
\begin{bmatrix}
\bigtriangleup & \bigtriangleup & \bigtriangleup\\
\textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{orange}{\bigcirc}\\
\Box & \Box & \Box
\end{bmatrix} =
$$

$$
\begin{bmatrix}
\bigtriangleup & \bigtriangleup & \bigtriangleup\\
\textcolor{cyan}{k} \textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{cyan}{k} \textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{cyan}{k} \textcolor{orange}{\bigcirc}\\
\Box & \Box & \Box
\end{bmatrix}
$$

Next

3. 第三种初等变换

变换方式：

将矩阵的某一行（列）乘以常数 $k$ 后加到另一行（列）上去。

举例：

$$
\begin{bmatrix}
\bigtriangleup & \bigtriangleup & \bigtriangleup\\
\textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{orange}{\bigcirc}\\
\Box & \Box & \Box
\end{bmatrix}
$$

把矩阵的第 $2$ 行元素乘以 $k$ 加到第 $1$ 行元素上 $\textcolor{white}{\Rightarrow}$

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{cyan}{k} \textcolor{orange}{\bigcirc} + \textcolor{yellow}{\bigtriangleup} & \textcolor{cyan}{k} \textcolor{orange}{\bigcirc} + \textcolor{yellow}{\bigtriangleup} & \textcolor{cyan}{k} \textcolor{orange}{\bigcirc} + \textcolor{yellow}{\bigtriangleup}\\
\textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{orange}{\bigcirc} & \textcolor{orange}{\bigcirc}\\
\Box & \Box & \Box
\end{bmatrix}
$$

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