周期为 $2 \pi$ 的一般函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\cos n x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $b_{n}$ $=$ $\pi$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$

   答 案   

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{\pi}$ $\int_{-\pi}^{\pi}$ $f(x)$ $\sin n x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$