两个垂直平面间的性质(B009)

问题

若平面 $\pi_{1}$ 的表达式为 $A_{1} x$ $+$ $B_{1} y$ $+$ $C_{1} z$ $+$ $D_{1}$ $=$ $0$, 平面 $\pi_{2}$ 的表达式为 $A_{2} x$ $+$ $B_{2} y$ $+$ $C_{2} z$ $+$ $D_{2}$ $=$ $0$. 此外,平面 $\pi_{1}$ 和 $\pi_{2}$ 的法向量分别为 $\vec{n_{1}}$ $=$ $(A_{1}, B_{1}, C_{1})$ 和 $\vec{n_{2}}$ $=$ $(A_{1}, B_{2}, C_{2})$.

那么,若 $\pi_{1}$ $\perp$ $\pi_{2}$, 则可以引申出来哪些性质?

选项

[A].   $\pi_{1}$ $\perp$ $\pi_{2}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $//$ $\vec{n_{2}}$ $\Leftrightarrow$ $A_{1} A_{2}$ $=$ $B_{1} B_{2}$ $=$ $C_{1} C_{2}$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\cdot$ $\vec{n_{2}}$ $=$ $0$

[B].   $\pi_{1}$ $\perp$ $\pi_{2}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\perp$ $\vec{n_{2}}$ $\Leftrightarrow$ $A_{1} A_{2}$ $+$ $B_{1} B_{2}$ $+$ $C_{1} C_{2}$ $=$ $1$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\times$ $\vec{n_{2}}$ $=$ $1$

[C].   $\pi_{1}$ $\perp$ $\pi_{2}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\perp$ $\vec{n_{2}}$ $\Leftrightarrow$ $A_{1} A_{2}$ $+$ $B_{1} B_{2}$ $+$ $C_{1} C_{2}$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\cdot$ $\vec{n_{2}}$ $=$ $0$

[D].   $\pi_{1}$ $\perp$ $\pi_{2}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\perp$ $\vec{n_{2}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{A_{1}}{A_{2}}$ $+$ $\frac{B_{1}}{B_{2}}$ $+$ $\frac{C_{1}}{C_{2}}$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{1}}$ $\cdot$ $\vec{n_{2}}$ $=$ $0$



显示答案

$\pi_{\textcolor{orange}{1}}$ $\textcolor{red}{\perp}$ $\pi_{\textcolor{cyan}{2}}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{\textcolor{orange}{1}}}$ $\textcolor{red}{\perp}$ $\vec{n_{\textcolor{cyan}{2}}}$ $\Leftrightarrow$ $A_{\textcolor{orange}{1}}$ $\textcolor{red}{\cdot}$ $A_{\textcolor{cyan}{2}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $B_{\textcolor{orange}{1}}$ $\textcolor{red}{\cdot}$ $B_{\textcolor{cyan}{2}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $C_{\textcolor{orange}{1}}$ $\textcolor{red}{\cdot}$ $C_{\textcolor{cyan}{2}}$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{n_{\textcolor{orange}{1}}}$ $\textcolor{red}{\cdot}$ $\vec{n_{\textcolor{cyan}{2}}}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$