一、题目描述
若 $f(x)$ $=$ $\begin{cases} & 1, |x| \leqslant 1, \\ & 0, |x| > 1, \end{cases}$ 则复合函数 $f[f(x)]$ $=$ $?$
二、思路分析
计算一个函数 $f(x)$ 相对于自身的复合函数 $f[f(x)]$, 其实就是把原来函数中的自变量 $x$ 看作是 $f(x)$, 或者说是把 $f(x)$ 代入到原来函数的自变量 $x$ 中去计算即可。
三、解答过程
$$
f(x) =
$$
$$
\begin{cases} & 1, |x| \leqslant 1, \\ & 0, |x| > 1 \end{cases} \Rightarrow
$$
$$
f[f(x)] =
$$
$$
\begin{cases} & 1, |f(x)| \leqslant 1, \\ & 0, |f(x)| > 1. \end{cases}
$$
由题目可知：
$$
|f(x)| \leqslant 1.
$$
于是：
$$
f[f(x)] =
$$
$$
\begin{cases} & 1, |f(x)| \leqslant 1, \\ & 0, 不存在 \end{cases} \Rightarrow
$$
$$
f[f(x)] = 1.
$$