2018年考研数二第21题解析:数列极限、数学归纳法、拉格朗日中值定理

题目

设数列 xn 满足:x1>0, xnexn+1=exn1 (n=1,2,3,). 证明 xn 收敛,并求 limnxn.

解析

由题可得:

xnexn+1=exn1

exn+1=exn1xn

x1>0, 于是:

ex2=ex11x1

ex2=ex1e0x10.

接着,由拉格朗日中值定理可知,存在 ξ(0,x1), 使得:

eξ=ex1e0x10.

于是:

ex2=eξ=ex1e0x10

x2(0,x1)

0<x2<x1.

推广可知,若设 0<xn+1<xn, 则存在 γ(0,xn+1), 使得:

xn+2=eγ=exn+1e0xn+10

xn+2(0,xn+1)

0<xn+2<xn+1.

综上,有:

0<xn<xn+1.

于是可知,数列 xn 是一个单调递减的数列。

又因为 x1>0, 于是可知,数列 xn 单调递减且有下限,故数列 xn 是一个收敛数列。

若设 limnxn=A, 则:

limx(xnexn+1)=limx(exn1)

AeA=eA1

eA(A1)=1

eA=11A

A=0.

由极限的唯一性定理可知,若一个数列收敛,则这个数列一定有且有唯一的极限。

不过,这里为了更具说服力,我们可以进行进一步的证明,过程如下:

AeA=eA1, 可设:

f(x)=xexex+1.

接着:

f(x)=ex+xexex

f(x)=xex.

于是,当 x>0 时,有:

f(x)>0.

由前面的计算可知,数列 xn>0, 于是,在函数 f(x) 中,有 x>0.

即函数 f(x) 在区间 [0,+) 上单调递增。

又:

f(0)=01+1=0.

于是,函数 f(x) 在区间 [0,+) 上有且只有 x=0 这一个零点。

进一步可知,极限 limxxn 存在且唯一,即:

limxxn=A

limxxn=0.


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