题目
设数列
解析
由题可得:
又
接着,由拉格朗日中值定理可知,存在
于是:
推广可知,若设
综上,有:
于是可知,数列
又因为
若设
由极限的唯一性定理可知,若一个数列收敛,则这个数列一定有且有唯一的极限。
不过,这里为了更具说服力,我们可以进行进一步的证明,过程如下:
由
接着:
于是,当
由前面的计算可知,数列
, 于是,在函数 中,有 .
即函数
又:
于是,函数
进一步可知,极限
设数列
由题可得:
又
接着,由拉格朗日中值定理可知,存在
于是:
推广可知,若设
综上,有:
于是可知,数列
又因为
若设
由极限的唯一性定理可知,若一个数列收敛,则这个数列一定有且有唯一的极限。
不过,这里为了更具说服力,我们可以进行进一步的证明,过程如下:
由
接着:
于是,当
由前面的计算可知,数列
, 于是,在函数 中,有 .
即函数
又:
于是,函数
进一步可知,极限