2014年考研数二第23题解析：矩阵相似性、矩阵相似对角化

题目

证明：$n$ 阶矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& 1\\ 0& \cdots & 0& 2\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0& n\end{array}\right]$ 相似.

解析

首先，令：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right];$$

$$B=\left[\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& 1\\ 0& \cdots & 0& 2\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0& n\end{array}\right].$$

分析可知，如果矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值和相同的秩，但是，假如我们只知道 $A$ 与 $B$ 的特征值和秩相同，是不能得到 $A$ 与 $B$ 相似的结论的。

也就是说，仅仅依靠相似矩阵本身的性质，是无法解答本题的，我们必须引入关于矩阵相似的其他性质。

涉及矩阵相似的另一个性质就是“相似对角化”，即如果一个矩阵可以对角化，那么，原矩阵和其对角矩阵互为相似矩阵。

于是，我们就有了解答本题的一个思路：

第一步：判断矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 是否可以对角化；

第二步：如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都可以对角化，那么，他们的对应的对角矩阵是否完全相等；

第三步：如果矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 对应的对角矩阵完全相等，即，若有 $A\sim \mathrm{\Lambda }$ 且 $B\sim \mathrm{\Lambda }$, 则 $A\sim B$ 一定成立。

注：

[1]. 按照惯例，在本文中，使用希腊字母 $\mathrm{\Lambda }$ 表示一个对角矩阵.

一、求解矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 的特征值

虽然矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，但是，矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都是有规律的矩阵。对于这样的矩阵，我们可以先利用规律与之相同，但是阶数有限的矩阵去计算，通过分析计算结果呈现出来的规律完成对原来的 $n$ 阶矩阵的求解。

于是，可令：

$$a=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right];$$

$$b=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right].$$

接着，有：

$$|\lambda E–a|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -1& -1& -1\\ -1& \lambda -1& -1\\ -1& -1& \lambda -1\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -3& \lambda -3& \lambda -3\\ \lambda -3& \lambda -3& \lambda -3\\ \lambda -3& \lambda -3& \lambda -3\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -3& -3& -3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda -3& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=0;{\lambda }_2=0;{\lambda }_3=3.$$

$$|\lambda E–b|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right]\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& -1\\ 0& \lambda & -2\\ 0& 0& \lambda –3\end{array}\right|=0\Rightarrow$$

$$\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 0& \lambda -1\\ 0& \lambda & \lambda -2\\ 0& 0& \lambda –3\end{array}\right|=0\mathrm{①}\Rightarrow$$

注：

[1]. $\mathrm{①}$ 式是一个上对角行列式，其值等于主对角线上元素的乘积。

$${\lambda }^2(\lambda –3)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=0;{\lambda }_2=0;{\lambda }_3=3.$$

通过对上面的计算结果进行合理推广可知：

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ 而言，其特征值为：

$${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0;{\lambda }_n=n.$$

对于 $n$ 阶矩阵 $B$ 而言，其特征值为：

$${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0;{\lambda }_n=n.$$

即，矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 具有相同的特征值。

二、判断矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 是否可以对角化

根据 $n$ 阶矩阵可以对角化的充分条件可知，由于矩阵 $A$ 是一个实对称矩阵，即 $A^{\mathrm{\top }}=A$, 于是，矩阵 $A$ 可以对角化。

对矩阵 $B$ 进行化简可知：

$$r(B)=1.$$

于是：

$$r(0\cdot E–B)=r(B)=1.$$

进而可知，矩阵 $B$ 的 $n-1$ 重特征值 $0$ 有 $n-1$ 个线性无关的特征向量，根据矩阵对角化的条件可知，矩阵 $B$ 可以对角化。

三、得出结论

综上可知，矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 具有相同的特征值，且矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都可以对角化，因此，矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 拥有同样的对角矩阵：

$$\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{cccc}0& & & \\ & 0& & \\ & & \ddots & \\ & & & n\end{array}\right].$$

即：

$$A\sim \mathrm{\Lambda };B\sim \mathrm{\Lambda }.$$

于是：

$$A\sim B.$$

从而，$n$ 阶矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& \cdots & 1\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& 1\\ 0& \cdots & 0& 2\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& \cdots & 0& n\end{array}\right]$ 相似，得证。