2013年考研数二第20题解析:导数与最值、数列极限的判定与求解

题目

设函数 f(x)=lnx+1x.

()f(x) 的最小值;

() 设数列 xn 满足 lnxn+1xn+1<1. 证明 limnxn 存在,并求此极限。

解析

()

由题知:

f(x)=1x1x2.

于是,令 f(x)=0, 得:

1x1x2=0

1x=1x1x

注:

[1]. 由题知,函数 f(x) 中自变量 x 的取值范围是 (0,+), 即 1x>0.

1=1x

x=1.

于是可知,x=1f(x) 在其定义域 (0,+) 上的极值点。

又:

f(x)=1x2+2x3.

x=1 代入 f(x), 得:

f(1)=1>0.

于是可知,f(x)x=1 附近是一个凹函数,因此,x=1f(x) 的最小值点,最小值为 f(1)=1.

()

由第 () 问可知:

lnx+1x1.

即:

lnxn+1xn1.

又由第 () 问知,数列 xn 满足:

lnxn+1xn+1<1.

于是可知:

1xn>1xn+1

xn<xn+1.

即数列 xn 是一个单调递增的数列。

又由 xn>0 可知,1xn>0, 进而可知:

1xn+1>0.

于是,由 lnxn+1xn+1<1 知:

lnxn<1

logexn<1

xn<e.

综上,数列 xn 单调递增且有上界,于是,limnxn 存在。

注:

[1]. e 只是数列 xn 的上界,即说明 limxxn<e, 但不一定有 limxxn=e.

令:

limxxn=A.

则由 lnxn+1xn1 可得:

limx(lnxn+1xn)1

lnA+1A1.

又由 lnxn+1xn+1<1 可得:

limx(lnxn+1xn+1)<1

lnA+1A<1.

于是:

lnA+1A=1

A=1.

即,limxxn 存在,且:

limxxn=1.


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