2013年考研数二第20题解析:导数与最值、数列极限的判定与求解

题目

设函数 $f(x)=\ln x + \frac{1}{x}$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的最小值;

$(Ⅱ)$ 设数列 ${x_{n}}$ 满足 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$. 证明 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在,并求此极限。

解析

第 $(Ⅰ)$ 问

由题知:

$$
f^{‘}(x) = \frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}}.
$$

于是,令 $f^{‘}(x)=0$, 得:

$$
\frac{1}{x} – \frac{1}{x^{2}} = 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow
$$

注:

[1]. 由题知,函数 $f(x)$ 中自变量 $x$ 的取值范围是 $(0, + \infty)$, 即 $\frac{1}{x}>0$.

$$
1 = \frac{1}{x} \Rightarrow
$$

$$
x=1.
$$

于是可知,$x=1$ 是 $f(x)$ 在其定义域 $(0,+\infty)$ 上的极值点。

又:

$$
f^{”}(x) = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}.
$$

将 $x = 1$ 代入 $f^{”}(x)$, 得:

$$
f^{”}(1) = 1 > 0.
$$

于是可知,$f(x)$ 在 $x=1$ 附近是一个凹函数,因此,$x=1$ 是 $f(x)$ 的最小值点,最小值为 $f(1) = 1$.

第 $(Ⅱ)$ 问

由第 $(Ⅰ)$ 问可知:

$$
\ln x + \frac{1}{x} \geqslant 1.
$$

即:

$$
\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n}} \geqslant 1.
$$

又由第 $(Ⅱ)$ 问知,数列 ${x_{n}}$ 满足:

$$
\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1.
$$

于是可知:

$$
\frac{1}{x_{n}} > \frac{1}{x_{n+1}} \Rightarrow
$$

$$
x_{n} < x_{n+1}.
$$

即数列 ${x_{n}}$ 是一个单调递增的数列。

又由 $x_{n}>0$ 可知,$\frac{1}{x_{n}}>0$, 进而可知:

$$
\frac{1}{x_{n+1}} > 0.
$$

于是,由 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$ 知:

$$
\ln x_{n} < 1 \Rightarrow
$$

$$
\log_{e}^{x_{n}} < 1 \Rightarrow
$$

$$
x_{n} < e.
$$

综上,数列 ${x_{n}}$ 单调递增且有上界,于是,$\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。

注:

[1]. $e$ 只是数列 ${x_{n}}$ 的上界,即说明 $\lim_{x \rightarrow \infty}x_{n} < e$, 但不一定有 $\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n}=e$.

令:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = A.
$$

则由 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n}} \geqslant 1$ 可得:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} (\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n}}) \geqslant 1 \Rightarrow
$$

$$
\ln A + \frac{1}{A} \geqslant 1.
$$

又由 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}<1$ 可得:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} (\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}}) < 1 \Rightarrow
$$

$$
\ln A + \frac{1}{A} < 1.
$$

于是:

$$
\ln A + \frac{1}{A} = 1 \Rightarrow
$$

$$
A = 1.
$$

即,$\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在,且:

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} x_{n} = 1.
$$


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress