2011年考研数二第18题解析:导数、三角函数、对数、二阶微分方程

题目

设函数 y(x) 具有二阶导数,且曲线 l:y=y(x) 与直线 y=x 相切于原点,记 α 为曲线 l 在点 (x,y) 处切线的倾角,若 dαdx=dydx, 求 y(x) 的表达式。

解析

由于 α 为曲线 l 在点 (x,y) 处切线的倾角,所以,根据导数的几何结构可知:

tanα=dydx.

对上式两边求导,得:

(sec2α)(dαdx)=d2ydx2

又:

(tanx)=sec2x=1+tan2x.

于是:

(1+tan2α)(dαdx)=d2ydx2.

又:

dαdx=dydx=tanα.

于是:

d2ydx2=dydx[1+(dydx)2].

若令:

p=dydx.

则有:

d2ydx2=p(1+p2).(1)

注:
d2ydx2(dydx)(dydx),
d2ydx2p2.

又因为:

d2ydx2=ddx(dydx)

dpdx=dydxdpdy=pdpdy.

于是,(1) 式可转化为:

pdpdy=p(1+p2).

又因为函数 y(x) 具有二阶导数,即:

dydx0

p0.

于是,有:

dpdy=1+p2

dp1+p2=dy

dp1+p2=dy

arctan(p)=y+C1.

又由题知:

y(0)=0,y(0)=dydx=p=1.

于是,当 x=0 时,有:

arctan(1)=0+C1

C1=π4.

即:

arctan(p)=y+π4

tan[arctan(p)]=tan(y+π4)

p=tan(y+π4)

dydx=tan(y+π4)

dytan(y+π4)=dx

dytan(y+π4)=dx

注:

[lnsin(y+π4)]=
[sin(y+π4)]sin(y+π4)=
cos(y+π4)sin(y+π4)=
1tan(y+π4).

lnsin(y+π4)=x+lnC2(2)

注:
(2) 式中的 lnC2 表示这是一个未知常数,这里当然也可以单独用 C2 表示未知常数,不过,为了和全式保持一致,并在之后的运算中消去 ln, 我们这里选择使用 lnC2 表示未知常数。

又:

logeex=x

x=lnex.

于是,由 (2) 式,得:

lnsin(y+π4)=lnex+lnC2

lnsin(y+π4)=ln(C2ex)

注:
lnsin(y+π4)=lnex+lnC2
sin(y+π4)=ex+C2.

sin(y+π4)=C2ex.

又:

x=0y(0)=0.

于是:

sin(π4)=C21

C2=22.

即:

sin(y+π4)=22ex

arcsin[sin(y+π4)]=arcsin(22ex)

y+π4=arcsin(22ex)

y=arcsin(22ex)π4.


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