2011年考研数二第14题解析:二次型、特征值和正负惯性指数

题目

二次型 f(x1,x2,x3) = x12 + 3x22 + x32 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3, 则 f 的正惯性指数为__.

解析

本题考查二次型、特征值和正负惯性指数相关知识点,根据定义一步步求解即可。

由题可知,若令矩阵 A 的二次型为:

f(x1,x2,x3)=

x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3

则:

A=[111131111]

于是,由 |λEA|=0 得:

|λ1111λ3111λ1|=0

(λ3)(λ1)22(λ3)2(λ1)=0

(λ1)[(λ3)(λ1)3]=0

(λ1)(λ24λ)=0

(λ1)λ(λ4)=0

λ1=1;λ2=0;λ3=4.

由于 0 既不是正数也不是负数,因此,二次型 f 的正惯性指数为 2.


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