2012年考研数二第12题解析

题目

微分方程 $ydx+(x–3y^2)dy=0$ 满足初始条件 $y{|}_{x=1}=1$ 的解为 $?$

解析

观察知，本题中给出的式子应该是一个一阶线性非齐次微分方程，该类微分方程形如：

$$y^{‘}+p(x)y=q(x).\mathrm{①}$$

首先尝试在 $ydx+(x–3y^2)dy=0$ 两端同除以 $dx$ 以构建出 $\frac{dy}{dx}$:

$$y+(x–3y^2)\frac{dy}{dx}=0\Rightarrow$$

$$y+(x–3y^2)y^{‘}=0.$$

但是，上式与 $\mathrm{①}$ 式的形式不符。

因此，尝试在 $ydx+(x–3y^2)dy=0$ 两端同除以 $dy$ 以构建出 $\frac{dx}{dy}$:

$$y\frac{dx}{dy}+x–3y^2=0\Rightarrow$$

$$y{x}^{‘}+x=3y^2\Rightarrow \mathrm{②}$$

$$x^{‘}+\frac{1}{y}x=3y.\mathrm{③}$$

注意：用一阶线性微分方程的求解公式求解时一定要化简成 $\mathrm{③}$ 式那样的形式而不是 $\mathrm{②}$ 式那样的形式——必须要和公式对应的形式保持一致。

即：

$$q(y)=3y;$$

$$p(y)=\frac{1}{y}.$$

于是：

$$x=$$

$$[\int 3y{e}^{\int \frac{1}{y}dy}dy+C]e^{-\int \frac{1}{y}dy}=$$

$$[3\int y{e}^{\ln y}dy+C]e^{-\ln y}.$$

又：

$$e^{\ln y}=◻\Rightarrow$$

$${\log }_e^{◻}=\ln y\Rightarrow$$

$$◻=y.$$

$$e^{-\ln y}=\mathrm{△}\Rightarrow$$

$${\log }_e^{\mathrm{△}}=\ln y^{-1}\Rightarrow$$

$$\mathrm{△}=\frac{1}{y}.$$

于是：

$$x=$$

$$[3\int y^{2}dy+C]\frac{1}{y}=$$

$$\frac{1}{y}(y^3+C).$$

又，当 $x=1$ 时，$y=1$, 于是：

$$1=1(1+C)\Rightarrow$$

$$C=0.$$

于是：

$$x=y^2.$$

由于 $x=1>0$, $y=1>0$, 因此：

$$y=\sqrt{x}.$$

注意：要填的答案是 $\sqrt{x}$, 而不是 $x=y^2$. 看清楚题目问的什么。

综上可知，正确答案为 $\sqrt{x}$.

EOF