题目
微分方程 $ydx + (x – 3y^{2})dy = 0$ 满足初始条件 $y|_{x=1}=1$ 的解为 $?$
解析
观察知，本题中给出的式子应该是一个一阶线性非齐次微分方程，该类微分方程形如：
$$
y^{‘} + p(x)y = q(x). ①
$$
首先尝试在 $ydx + (x – 3y^{2})dy = 0$ 两端同除以 $dx$ 以构建出 $\frac{dy}{dx}$:
$$
y + (x – 3y^{2}) \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow
$$
$$
y + (x – 3y^{2}) y^{‘} = 0.
$$
但是，上式与 $①$ 式的形式不符。
因此，尝试在 $ydx + (x – 3y^{2})dy = 0$ 两端同除以 $dy$ 以构建出 $\frac{dx}{dy}$:
$$
y \frac{dx}{dy} + x – 3y^{2} = 0 \Rightarrow
$$
$$
y x^{‘} + x = 3y^{2} \Rightarrow ②
$$
$$
x^{‘} + \frac{1}{y} x = 3y. ③
$$
注意：用一阶线性微分方程的求解公式求解时一定要化简成 $③$ 式那样的形式而不是 $②$ 式那样的形式——必须要和公式对应的形式保持一致。
即：
$$
q(y) = 3y;
$$
$$
p(y) = \frac{1}{y}.
$$
于是：
$$
x =
$$
$$
[\int 3y e^{\int \frac{1}{y} dy} dy +C]e^{- \int \frac{1}{y} dy} =
$$
$$
[3 \int y e^{\ln y} dy + C] e^{-\ln y}.
$$
又：
$$
e^{\ln y} = \square \Rightarrow
$$
$$
\log_{e}^{\square} = \ln y \Rightarrow
$$
$$
\square = y.
$$
$$
e^{- \ln y} = \triangle \Rightarrow
$$
$$
\log_{e}^{\triangle} = \ln y^{-1} \Rightarrow
$$
$$
\triangle = \frac{1}{y}.
$$
于是：
$$
x =
$$
$$
[3 \int y^{2} dy + C] \frac{1}{y} =
$$
$$
\frac{1}{y}(y^{3} + C).
$$
又，当 $x=1$ 时，$y=1$, 于是：
$$
1 = 1(1+C) \Rightarrow
$$
$$
C = 0.
$$
于是：
$$
x = y^{2}.
$$
由于 $x=1>0$, $y=1>0$, 因此：
$$
y = \sqrt{x}.
$$
注意：要填的答案是 $\sqrt{x}$, 而不是 $x = y^{2}$. 看清楚题目问的什么。
综上可知，正确答案为 $\sqrt{x}$.
EOF