2014年考研数二第05题解析

题目

设函数 f(x)=arctanx, 若 f(x)=xf(ξ), 则 limx0ξ2x2=?

A.1

B.23

C.12

D.13

解析

解本题的思路就是通过已知条件凑出来 ξ2x2 这个式子。

首先凑出 ξ2:

f(x)=11+x2

f(ξ)=11+ξ2

f(x)=x1+ξ2

arctanx=x1+ξ2

(1+ξ2)arctanx=x

arctanx+ξ2arctanx=x

ξ2=xarctanxarctanx.

又,当 x0 时,有:

xarctanx13x3;

arctanxx.

于是:

limx0ξ2=13x3x=13x2.

于是:

limx0ξ2x2=13.

综上可知,正确选项为 D.

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