2014年考研数二第05题解析

题目

设函数 $f(x)=\arctan x$, 若 $f(x)=x{f}^{‘}(\xi )$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\xi }^2}{x^2}=?$

$$A.1$$

$$B.\frac{2}{3}$$

$$C.\frac{1}{2}$$

$$D.\frac{1}{3}$$

解析

解本题的思路就是通过已知条件凑出来 $\frac{{\xi }^2}{x^2}$ 这个式子。

首先凑出 ${\xi }^2$:

$$f^{‘}(x)=\frac{1}{1+x^2}\Rightarrow$$

$$f^{‘}(\xi )=\frac{1}{1+{\xi }^2}\Rightarrow$$

$$f(x)=\frac{x}{1+{\xi }^2}\Rightarrow$$

$$\arctan x=\frac{x}{1+{\xi }^2}\Rightarrow$$

$$(1+{\xi }^2)\arctan x=x\Rightarrow$$

$$\arctan x+{\xi }^2\arctan x=x\Rightarrow$$

$${\xi }^2=\frac{x–\arctan x}{\arctan x}.$$

又，当 $x\to 0$ 时，有：

$$x–\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3;$$

$$\arctan x\sim x.$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}{\xi }^2=\frac{\frac{1}{3}{x}^3}{x}=\frac{1}{3}{x}^2.$$

于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\xi }^2}{x^2}=\frac{1}{3}.$$

综上可知，正确选项为 $D$.

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