题目
编号:A2016205
设函数
解析
方法一:
当两个函数都是对应凸曲线(都是凹曲线也一样)时,他们两个如果想相切,那么一定是一个曲线嵌套在另外一个曲线中产生的相切,即这两条曲线必须在切线的一侧。否则,如果是普通情况下的相切,即这两条曲线位于切线的两侧,那么这两条曲线就不是由两个函数形成的曲线了,因为,“函数”要求一个自变量
于是,我们有了如图 1 所示的函数
![](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2020/07/01/b/image001.webp)
由于曲率越大表示弯曲程度越大,因此,在图 1 中我们可以看到,
图 1 中画出的切线
由图 1 可以看出,在邻域
又由于当
汤家凤老师曾在某年讲真题时说 2016 年的第 5 题是比较难的一题,但我们可以发现,用上面这种方法解本题就很简单——上面的解题过程并不严谨,但这是【考试试卷】中的【选择题】,只要能通过构造的特例找出正确答案就可以了。
用下面的法二解本题就有点难了。
方法二:
该方法就是使用曲率公式计算。
曲率的计算公式为:
由于
又:
于是:
即,在
又由于切线
结合
则,
于是有:
结合
于是可知,
又结合
于是,当
注意:一个区间内有限个点对应的函数值相等并不影响该区间内函数的增减性。所以,上式中含有
当
于是:
在
因此,我们知道,在一开始的时候,跑得慢的
在
于是,在
同理可得:
即:
综上可知,正确选项为
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