2017年考研数二第11题解析

题目

0+ln(1+x)(1+x)2dx=?

解析

计算过程一复杂就容易弄错正负号,因此,一旦计算过程中涉及正负号,就需要格外认真仔细地去计算。

由于:

(11+x)=11(1+x)2.

因此:

0+ln(1+x)(1+x)2=

10+ln(1+x)d(11+x)

1[ln(1+x)1+x|0+0+1(1+x)2dx]=

1ln(1+x)1+x|0++0+1(1+x)2dx

1ln(1+x)1+x|0+

x+ 时,ln(1+x)1+x 的分子和分母都趋于正无穷,因此,此时,可以尝试用洛必达法则:

limx+ln(1+x)1+x

limx+11+x1=

limx+11+x=0

x0 时,ln(1+x)1+x 的分母趋于 1, 而分子趋于 0, 因此,此时不可以使用洛必达法则,只能直接计算:

注意:使用洛必达前一定要注意判断是否满足使用洛必达的三个条件,不是所有的情况下都可以使用洛必达法则。

于是:

limx0ln(1+x)1+x=

ln11=ln1=0.

于是:

1ln(1+x)1+x|0+=[00]=0.

又:

0+1(1+x)2dx=

111+x|0+=

1[01]=1.

即:

0+ln(1+x)(1+x)2dx=1.

注意:

(1)上面的计算过程中要特别注意正负号,一定要明确当前正负号的作用范围,必要的情况下,要使用乘以 1 代替 负号以使整个式子中的负号更加明显;

(2)有 ln 出现的积分式子一般都需要用到分部积分法。

综上可知,正确答案为 1.

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