2017年考研数二第11题解析

一、题目

二、解析

计算过程一复杂就容易弄错正负号，因此，一旦计算过程中涉及正负号，就需要格外认真仔细地去计算。

由于：

$$
\left(\frac{1}{1+x} \right)^{\prime} = -1 \frac{1}{(1+x)^{2}}
$$

因此：

$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x =
$$

$$
-1 \int_{0}^{+ \infty} \ln(1+x) \mathrm{~d} (\frac{1}{1+x}) \Rightarrow 分部积分法 \Rightarrow
$$

$$
-1 [\frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} – \int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{(1+x)^{2}}\mathrm{~d} x]=
$$

$$
-1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{(1+x)^{2}}\mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
-1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} \Rightarrow
$$

当 $x \rightarrow + \infty$ 时，$\frac{\ln (1+x)}{1+x}$ 的分子和分母都趋于正无穷，因此，此时，可以尝试用洛必达法则：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln(1+x)}{1+x} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{1+x}=0
$$

当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{\ln(1+x)}{1+x}$ 的分母趋于 $1$, 而分子趋于 $0$, 因此，此时不可以使用洛必达法则，只能直接计算：

注意：使用洛必达前一定要注意判断是否满足使用洛必达的三个条件，不是所有的情况下都可以使用洛必达法则。

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{1+x} = \frac{\ln 1}{1} = \ln 1 = 0
$$

于是：

$$
-1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} = -[0-0]=0.
$$

又：

$$
\int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{(1+x)^{2}}dx = -1 \cdot \frac{1}{1+x} |_{0}^{+ \infty} = -1 \cdot [0-1]=1
$$

即：

$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} dx = 1
$$

注意：

（1）上面的计算过程中要特别注意正负号，一定要明确当前正负号的作用范围，必要的情况下，要使用乘以 $-1$ 代替 $”-“$ 负号以使整个式子中的负号更加明显；

（2）有 $\ln$ 出现的积分式子一般都需要用到分部积分法。

综上可知，正确答案为 $1$.

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