2019年考研数二第07题解析

题目

设 $A$ 是 $4$ 阶矩阵，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $AX=0$ 的基础解系中有 $2$ 个向量，则 $r(A^{\ast })=?$

解析

由于 $AX=0$ 的基础解系中有 $2$ 个解向量，也就是说，将 $A$ 化成单位矩阵之后会出现 $2$ 个自由变量，那么非自由变量的个数，也就是 $A$ 的秩就是 $4-2=2$, 即 $r(A)=2<4-1$, 也就是说：

$r(A^{\ast })=0$

综上可知，正确选项为 $A$.

P.S. 关于关于矩阵的秩于其伴随矩阵的秩之间的关系，可以参考下面这篇文章：

《[线代]矩阵的秩于其伴随矩阵的秩之间的关系》

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