欧拉方程详解

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对考研数学一要求掌握的欧拉方程做一个详细的解析.

二、正文

考研数学中要求掌握的欧拉方程都是柯西-欧拉方程，而柯西-欧拉方程是线性的微分方程.

除了柯西-欧拉方程之外，流体力学中的欧拉方程和刚体动力学中的欧拉方程都是非线性的微分方程，变分法中的欧拉-拉格朗日方程也多为非线性的微分方程，但是，这三种微分方程都不在考研数学的考察范围中.

§2.1 $n$ 阶欧拉方程

设 $y^{(n)}(x)$ 为未知函数 $y(x)$ 的第 $n$ 阶导数，则 $n$ 阶柯西–欧拉方程具有如下形式：

$$
a_{n} x^{n} y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_{0} y(x)=0
$$

可以看到，欧拉方程的一个显著特点就是具有“等维结构”，也就是说，欧拉方程每一项中 $x$ 的次幂，都和 $y$ 的导数的阶数相同，这也是我们识别一个微分方程是不是欧拉方程的显著标识.

§2.2 二阶欧拉方程

在考研数学中，只有考研数学一的大纲要求掌握二阶欧拉方程，即：

$$
x^{2} \textcolor{lightgreen}{ y ^{\prime \prime} } + ax \textcolor{lightgreen}{ y ^{\prime} } + by = f(x)
$$

其中，$a$, $b$ 是常数.

对二阶欧拉方程进行求解时，如果 $x > 0$, 则在作变量代换时，令 $x = \mathrm{e}^{t}$（当 $x < 0$ 时，令 $x = -\mathrm{e}^{t}$ 即可），则：

$$
t = \ln x
$$

由于，在式子 $\textcolor{orange}{x} = \textcolor{orange}{\mathrm{e}^{t}}$ 中，$x$ 可以看作是 $t$ 的函数，即 $x(t) = \mathrm{e}^{t}$; 在式子 $t = \ln x$ 中，$t$ 可以看作是 $x$ 的函数，即 $t(x) = \ln x$, 于是：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \textcolor{orange}{\mathrm{e}^{t}} = \textcolor{orange}{x} \\ \\
& \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{\textcolor{orange}{x}} = \frac{1}{\textcolor{orange}{\mathrm{e}^{t}}}
\end{aligned}
$$

进而：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ y ^{\prime} } & = \frac{ \mathrm{d} y}{ \mathrm{d} x} \\ \\
& = \frac{ \mathrm{d} y}{ \mathrm{d} t} \cdot \frac{ \mathrm{d} t}{ \mathrm{d} x} \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{ \mathrm{d} y}{ \mathrm{d} t} \cdot \frac{1}{x} } \\ \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ y ^{\prime \prime} } & = \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d}x^{2}} \\ \\
& = \frac{\mathrm{d}}{ \mathrm{d} x } \left( \frac{\mathrm{d} y}{ \mathrm{d} x } \right) \\ \\
& = \frac{\mathrm{d}}{ \mathrm{d} t } \left( \frac{\mathrm{d} y}{ \mathrm{d} x } \right) \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \\ \\
& = \frac{\mathrm{d}}{ \mathrm{d} t } \left( \frac{ \mathrm{d} y}{ \mathrm{d} t} \cdot \frac{1}{x} \right) \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \\ \\
& = \frac{\mathrm{d}}{ \mathrm{d} t } \left( \frac{ \mathrm{d} y}{ \mathrm{d} t} \cdot \frac{1}{x} \right) \frac{1}{x} \\ \\
& = \left[ \frac{ \mathrm{d}^{2} y}{ \mathrm{d} t^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \textcolor{orangered}{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{1}{x} \right) } \right] \frac{1}{x} \\ \\
& = \left[ \frac{ \mathrm{d}^{2} y}{ \mathrm{d} t^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \textcolor{orangered}{ \frac{\frac{- \mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}{x^{2}} } \right] \frac{1}{x} \\ \\
& = \left[ \frac{ \mathrm{d}^{2} y}{ \mathrm{d} t^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \textcolor{orangered}{ \frac{-x}{x^{2}} } \right] \frac{1}{x} \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \frac{1}{x^{2}} \left( \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} – \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \right) }
\end{aligned}
$$

若 $x$ 仅仅是一个自变量，则 $\left( \frac{1}{x} \right) ^{\prime}$ $=$ $\frac{- x ^{\prime} }{x^{2}}$, 由于这里 $x$ 是 $t$ 的函数，所以 $x ^{\prime}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ $=$ $x$, 因此 $\textcolor{orangered}{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{1}{x} \right) }$ $=$ $\textcolor{orangered}{ \frac{-x}{x^{2}} }$

综上，原欧拉方程 $x^{2} y ^{\prime \prime}$ $+$ $ax y ^{\prime}$ $+$ $by$ $=$ $f(x)$ 变为：

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} + (a-1) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} + by = f(\mathrm{e}^{t})
$$

上面变形之后的欧拉方程，实际上是一个以 $t$ 为自变量，$y$ 为未知函数的二阶线性常系数微分方程，可以按照二阶线性常系数微分方程的求解方法继续求解.

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