一、前言
在「荒原之梦」的文章《通过分类讨论分析函数乘积平移的性质》中，我们使用传统数学中符号推理的方式，研究了下面这个问题：
已知，函数 $\mathrm{Z}_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, 接着，我们将函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $g(x+k)$, 那么，当函数 $f(x)$ 满足什么条件的时候，函数 $\mathrm{Z}_{2}(x) = f(x) \cdot g(x+k)$ 实际上可以看作是由函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 平移得到的呢？并且函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 向哪个方向平移了多少个单位得到了函数 $\mathrm{Z}_{2}(x)$ ?
在本文中，「荒原之梦」将对上面的问题进一步深入探讨，并用「荒原之梦」独创的图形推理的方式，研究以下三组函数的平移变换性质：
$$
\begin{aligned}
\mathbf{No.1} & \begin{cases}
\mathrm{Z}_{1}(x) = f(x) \cdot g(x) \\
\mathrm{Z}_{2}(x) = f(x) \cdot g(x + k)
\end{cases} \\ \\
\mathbf{No.2} & \begin{cases}
\mathrm{Z}_{3}(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \\
\mathrm{Z}_{4}(x) = f(x) \cdot g(x+k) \cdot h(x+l)
\end{cases} \\ \\
\mathbf{No.3} & \begin{cases}
\mathrm{Z}_{5}(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x) \\
\mathrm{Z}_{6}(x) = f(x) \cdot g(x+k) \cdot h(x-m)
\end{cases}
\end{aligned}
$$
其中，$k > 0$, $l > 0$, $m > 0$.
在本文中，我们将基于「荒原之梦」定义的“矢量乘法模型”这一工具，通过绘图的方式，直观地说明，当我们把函数 $\mathrm{Z}_{2}(x)$ 看作是由函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴左右平移得到的时候，函数 $f(x)$, $g(x)$ 和 $h(x)$ 需要具有什么样的性质，以及函数 $\mathrm{Z}_{i}(x)$（其中，$i$ $=$ $1,2,3,4,5,6$）左右平移的距离与函数 $g(x)$ 和 $h(x)$ 的左右平移距离之间具有什么样的关系。
二、正文
§2.1 有向平移距离
首先，我们需要定义一下“有向平移距离”。如图 01 所示，我们将从右下角到左上角的两个有向线段产生的有向距离的水平分量长度记为 $a$:
如图 02 所示，如果我们仅仅改变图 01 中有向线段的方向，则从左上角到右下角的两个有向线段产生的有向距离的水平分量记为 $b$:
通过几何关系可以知道，此时：
$$
a = b
$$
由于水平分量对应的是平移距离，所以，我们可以说：只改变有向线段的指向方向不会改变有向线段对应的有向水平平移距离。
上述性质会在接下来的矢量乘法模型中用于表示乘法交换律中的不变性。
§2.2 矢量乘法模型
所谓“矢量乘法模型”，就是用上面的有向线段表示数量相乘的一种乘法表示方式，模型中用于连接两个乘法因子的有向线段称为“乘法向量”，表示乘法结果的向量称为“等号向量”。其中，等号向量和实际上发挥作用的乘法向量一定是相对于坐标系的横轴是垂直的，所有倾斜的乘法向量都必须经由对应的垂直分量发挥实际的乘法运算作用。
例如，一般情况下，我们会使用下面的式子来表示一个乘法等式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& 10 \times 20 \times 30 \\
= \ & 10 \times 30 \times 20 \\
= \ & 6000
\end{aligned} }
\tag{1}
$$
但是，上面式子的局限性在于，其只是符号的堆砌，不包含任何的实际意义（或者说“几何意义”），也就不存在通过上面的式子来研究函数平移对函数之间乘法运算结果影响的可能性。
因此，为了使乘法运算的表达形式具有表示有向水平平移距离的能力，就需要使用有向箭头来表示乘法运算，这也是本文所提出的矢量乘法模型的作用和意义。
如图 03 所示，$①$ 对应的中间有一个等于号的白色实线有向线段用于指向乘法运算的结果，即“等号向量”（一般是垂直的）；$②$, $③$, $④$ 这三个中间有一个乘号的有向线段为乘法向量，都用于从一个乘积因子指向下一个乘积因子——其中，$②$ 对应的白色实线有向线段在本文中用于表示没有平移之前的函数相乘（一般是垂直的）；$③$ 对应的黄色虚线有向线段在本文中用于表示平移之后的函数相乘（一般是倾斜的）；$④$ 对应的红色虚线有向线段用于表示函数平移之后真实的乘法方向（一般是垂直的）：
因此，上面的 $(1)$ 式在矢量乘法模型中，就可以表示为如图 04 所示的形式：
§2.3 关于示意图的约定
我们要对本文中所用的示意图做如下约定，（主要是图 05 至图 17）：
- 本文中所有描述函数 $f$, $g$, $h$ 和 $\mathrm{Z}_{i}$（其中，$i$ $=$ $1,2,3,4,5,6$）的水平直线或者倾斜直线只是一种函数图象的示意，并非函数图象本身；
- 本文所有函数示意图象的相对位置，只用于表示矢量乘法运算的指向顺序，并非实际函数图象的相对位置——换句话说，这里表示的仅仅是一种乘法计算的先后顺序，由于乘法计算的先后顺序并不影响乘法计算的结果（矢量乘法也满足乘法交换律），所以，函数示意图象的相对位置，并不影响本文所能得结论的正确性；
- 本文中用实心小圆点表示实际参与平移但不一定在矢量乘法模型中都实际参与运算的函数点，用空心小圆点表示在矢量乘法模型中实际参与运算但没有实际参与平移的函数点。
§2.4 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 和 $\mathrm{Z}_{2}(x)$
由于 $\mathrm{Z}_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, 所以，存在点 $A$, $B$, $C$, 可以使得：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{Z}_{1}(C) = f(A) \cdot g(B)
} \tag{2}
$$
于是，我们在函数 $f(x)$, $g(x)$ 和 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 的示意图象上表示出这几个点，并用矢量乘法模型中的乘法向量将其连接起来，如图 05 所示：
接着，我们将函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $g(x + k)$.
由于函数 $g(x + k)$ 上的点 $B ^{\prime}$ 是由点 $B$ 向左平移 $k$ 个单位得到的，因此，点 $B ^{\prime}$ 和 $B$ 对应的函数值相等，因此：
$$
\textcolor{lightgreen}{
f(A) \cdot g(B) = f(A) \cdot g(B ^{\prime} + k)
} \tag{3}
$$
我们用黄色虚线形式的乘法向量表示这一等价关系，如图 06 所示：
于是，为了保证图 06 中等号向量的垂直，我们需要将函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $\mathrm{Z}_{2}(x)$, 并且在 $\mathrm{Z}_{2}(x)$ 上找到由 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 上的点 $C$ 平移得到的点 $C ^{\prime}$, 则根据前面的 $(2)$ 式和 $(3)$ 式可知：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{Z}_{2}(C ^{\prime}) = \mathrm{Z}_{1}(C) = f(A) \cdot g(B ^{\prime} + k)
} \tag{4}
$$
但是，由于点 $A$ 到 $B ^{\prime}$ 之间的乘法向量是倾斜的，所以，根据矢量乘法模型，实际上存在一条从点 $A ^{\prime}$ 指向点 $B ^{\prime}$ 的（红色）垂直乘法向量，其中 $f(A ^{\prime} ) = f(A)$, 如图 07 所示：
上面只是用两组点 $(A, B, C)$ 和 $(A ^{\prime}, B ^{\prime}, C ^{\prime})$ 进行的示例说明——
从上面的图形推理过程可以看出，如果函数定义域上的所有取值点都满足上述两组点在矢量乘法中所表现出来的模式，则我们可以知道，当函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，且 $k$ 是函数 $f(x)$ 的周期（不一定是最小正周期）时，函数 $\mathrm{Z}_{2}(x)$ 就是由函数 $\mathrm{Z}_{1}(x)$ 向左平移 $k$ 个单位得到的.
其中，$k$ 就是 $f(x)$ 和 $g(x + k)$ 之间乘法的有向水平平移距离.
§2.5 $\mathrm{Z}_{3}(x)$ 和 $\mathrm{Z}_{4}(x)$
由于 $\mathrm{Z}_{3}(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)$, 所以，存在点 $A$, $B$, $C$, $D$ 可以使得：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{Z}_{3}(D) = f(A) \cdot g(B) \cdot h(C)
} \tag{5}
$$
于是，我们在函数 $f(x)$, $g(x)$ 和 $\mathrm{Z}_{3}(x)$ 的示意图象上表示出这几个点，并用矢量乘法模型中的乘法向量将其连接起来，如图 08 所示：
接着，我们将函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $g(x + k)$, 将函数 $h(x)$ 向左平移 $l$ 个单位，得到函数 $h(x+l)$.
由于函数 $g(x + k)$ 上的点 $B ^{\prime}$ 是由点 $B$ 向左平移 $k$ 个单位得到的，因此，点 $B ^{\prime}$ 和 $B$ 对应的函数值相等；同时，由于函数 $h(x+l)$ 上的点 $C ^{\prime}$ 是由点 $C$ 向左平移 $l$ 个单位得到的，因此，点 $C ^{\prime}$ 和 $C$ 对应的函数值相等，因此：
$$
\textcolor{lightgreen}{
f(A) \cdot g(B) \cdot h(C) = f(A) \cdot g(B ^{\prime} + k) \cdot h(C ^{\prime} + l)
} \tag{6}
$$
我们用黄色虚线形式的乘法向量表示这一等价关系，如图 09 所示：
于是，为了保证图 09 中等号向量的垂直，我们需要将函数 $\mathrm{Z}_{3}(x)$ 向左平移 $l$ 个单位，得到函数 $\mathrm{Z}_{4}(x)$, 并且在 $\mathrm{Z}_{4}(x)$ 上找到由 $\mathrm{Z}_{3}(x)$ 上的点 $D$ 平移得到的点 $D ^{\prime}$, 则根据前面的 $(5)$ 式和 $(6)$ 式可知：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{Z}_{4}(D ^{\prime}) = \mathrm{Z}_{3}(D) = f(A) \cdot g(B ^{\prime} + k) \cdot h(C ^{\prime} + l)
} \tag{7}
$$
但是，由于点 $A$ 到 $B ^{\prime}$ 之间的乘法向量是倾斜的，所以，根据矢量乘法模型，实际上存在一条从点 $A ^{\prime}$ 指向点 $B ^{\prime}$ 的（红色）垂直乘法向量，其中 $f(A ^{\prime} ) = f (A)$, 如图 10 所示：
类似地，由于点 $B ^{\prime}$ 到 $C ^{\prime}$ 之间的乘法向量也是倾斜的，所以，根据矢量乘法模型，实际上存在一条从点 $B ^{\prime \prime}$ 指向点 $C ^{\prime}$ 的（红色）垂直的乘法向量，其中 $g(B ^{\prime} + k) = g(B ^{\prime \prime} + k)$, 如图 11 所示：
进而可知，实际上存在一条从点 $A ^{\prime \prime}$ 指向点 $B ^{\prime \prime}$ 的（红色）垂直乘法向量，其中 点 $A ^{\prime \prime}$ 是由点 $A ^{\prime}$ 向左平移 $l – k$ 个单位得到的，$f(A ^{\prime \prime}) = f(A ^{\prime})$, 如图 12 所示：
上面只是用两组点 $(A, B, C， D)$ 和 $(A ^{\prime \prime}, B ^{\prime \prime}, C ^{\prime}, D ^{\prime})$, 进行的示例说明——
从上面的图形推理过程可以看出，如果函数定义域上的所有取值点都满足上述两组点在矢量乘法中所表现出来的模式，则我们可以知道，当函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，函数 $h(x)$ 向左平移 $l$ 个单位，且 $k$, $l-k$ 是函数 $f(x)$ 的周期（不一定是最小正周期），$l$ 是函数 $h(x)$ 的周期（不一定是最小正周期）时，函数 $\mathrm{Z}_{4}(x)$ 就是由函数 $\mathrm{Z}_{3}(x)$ 向左平移 $l$ 个单位得到的.
其中，$k$ 就是 $f(x)$, $g(x + k)$ 和 $h(x + l)$ 之间乘法的有向水平平移距离.
§2.6 $\mathrm{Z}_{5}(x)$ 和 $\mathrm{Z}_{6}(x)$
由于 $\mathrm{Z}_{5}(x) = f(x) \cdot g(x) \cdot h(x)$, 所以，存在点 $A$, $B$, $C$, $D$ 可以使得：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{Z}_{5}(D) = f(A) \cdot g(B) \cdot h(C)
} \tag{8}
$$
于是，我们在函数 $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ 和 $\mathrm{Z}_{5}(x)$ 的示意图象上表示出这几个点，并用矢量乘法模型中的乘法向量将其连接起来，如图 13 所示：
接着，我们将函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $g(x + k)$, 将函数 $h(x)$ 向右平移 $m$ 个单位，得到函数 $h(x-m)$.
由于函数 $g(x + k)$ 上的点 $B ^{\prime}$ 是由点 $B$ 向左平移 $k$ 个单位得到的，因此，点 $B ^{\prime}$ 和 $B$ 对应的函数值相等；同时，由于函数 $h(x-m)$ 上的点 $C ^{\prime}$ 是由点 $C$ 向右平移 $m$ 个单位得到的，因此，点 $C ^{\prime}$ 和 $C$ 对应的函数值相等，因此：
$$
\textcolor{lightgreen}{
f(A) \cdot g(B) \cdot h(C) = f(A) \cdot g(B ^{\prime} + k) \cdot h(C ^{\prime} – m)
} \tag{9}
$$
我们用黄色虚线形式的乘法向量表示这一等价关系，如图 14 所示：
于是，为了保证图 14 中等号向量的垂直，我们需要将函数 $\mathrm{Z}_{5}(x)$ 向右平移 $m$ 个单位，得到函数 $\mathrm{Z}_{6}(x)$, 并且在 $\mathrm{Z}_{6}(x)$ 上找到由 $\mathrm{Z}_{5}(x)$ 上的点 $D$ 平移得到的点 $D ^{\prime}$, 则根据前面的 $(8)$ 式和 $(9)$ 式可知：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{Z}_{6}(D ^{\prime}) = \mathrm{Z}_{5}(D) = f(A) \cdot g(B ^{\prime} + k) \cdot h(C ^{\prime} – m)
} \tag{10}
$$
但是，由于点 $A$ 到 $B ^{\prime}$ 之间的乘法向量是倾斜的，所以，根据矢量乘法模型，实际上存在一条从点 $A ^{\prime}$ 指向点 $B ^{\prime}$ 的（红色）垂直乘法向量，其中 $f(A ^{\prime} ) = f(A)$, 如图 15 所示：
类似地，由于点 $B ^{\prime}$ 到 $C ^{\prime}$ 之间的乘法向量也是倾斜的，所以，根据矢量乘法模型，实际上存在一条从点 $B ^{\prime \prime}$ 指向点 $C ^{\prime}$ 的（红色）垂直的乘法向量，其中 $g(B ^{\prime} + k) = g(B ^{\prime \prime} + k)$, 如图 16 所示：
进而可知，实际上存在一条从点 $A ^{\prime \prime}$ 指向点 $B ^{\prime \prime}$ 的（红色）垂直乘法向量，其中 点 $A ^{\prime \prime}$ 是由点 $A ^{\prime}$ 向左平移 $k + m$ 个单位得到的，$f(A ^{\prime \prime}) = f(A ^{\prime})$, 如图 17 所示：
上面只是用两组点 $(A, B, C， D)$ 和 $(A ^{\prime \prime}, B ^{\prime \prime}, C ^{\prime}, D ^{\prime})$, 进行的示例说明——
从上面的图形推理过程可以看出，如果函数定义域上的所有取值点都满足上述两组点在矢量乘法中所表现出来的模式，则我们可以知道，当函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，函数 $h(x)$ 向右平移 $m$ 个单位，且 $k$, $m$ 是函数 $f(x)$ 的周期（不一定是最小正周期），$m$ 是函数 $h(x)$ 的周期（不一定是最小正周期）时，函数 $\mathrm{Z}_{6}(x)$ 就是由函数 $\mathrm{Z}_{5}(x)$ 向左平移 $m$ 个单位得到的.
其中，$m$ 就是 $f(x)$, $g(x + k)$ 和 $h(x – m)$ 之间乘法的有向水平平移距离.
三、总结
本文所提出的属于图形推理范畴的矢量乘法模型虽然在解决本文中问题的时候没有传统的符号推理简洁，但是，相较于符号推理只能将被推理对象的性质抽象赋予，图形推理中的推理图形本身就直观的含有被推理对象的性质，从而可以将抽象的性质作以直观的描述，有利于丰富和完善我们看待和解决问题的方式与思路。
我们知道，数学语言也是一种语言，因此，传统的符号推理就类似于自然语言中的拉丁文字这样的表音文字（不与具体意义直接关联），而本文的图形推理，则类似于汉字这样的表意文字或者中国甲骨文这样的象形文字（与具体意义相对直接关联）。
四、例题
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
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特别专题
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让考场上没有难做的数学题！