通过分类讨论分析函数乘积平移的性质

一、前言

在「荒原之梦」的《两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析》这篇文章中，我们分析了当函数 $Z_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, $Z_{2}(x) = f(x) \cdot g(x – k)$ 时，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 需要满足什么条件才可以使得 $Z_{1}(x) = Z_{2}(x)$.

在本文中，我们则要回答下面这个问题：

已知，函数 $Z_{1}(x) = f(x) \cdot g(x)$, 接着，我们将函数 $g(x)$ 向左平移 $k$ 个单位，得到函数 $g(x+k)$, 那么，当函数 $f(x)$ 满足什么条件的时候，函数 $Z_{2}(x) = f(x) \cdot g(x+k)$ 实际上可以看作是由函数 $Z_{1}(x)$ 平移得到的呢？并且函数 $Z_{1}(x)$ 向哪个方向平移了多少个单位得到了函数 $Z_{2}(x)$ ?

对于上面的问题，我们不考虑函数定义域的限制.

二、正文

首先，根据前面的描述，我们知道：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& Z_{1}(x) = f(x) \cdot g(x) \\
& Z_{2}(x) = f(x) \cdot g(x+k)
\end{aligned}
} \tag{1}
$$

那么，假设函数 $Z_{2}(x)$ 是由函数 $Z_{1}(x)$ 向左平移 $h$ 个单位得到的（可以通过 $h$ 的正负反映向左或者向右不同的平移方向），则根据问题中的描述，可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
Z_{2}(x) = Z_{1}(x+h) } \tag{2}
$$

于是，结合 $(1)$ 式与 $(2)$ 式，可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(x) \cdot g(x+k) = f(x+h) \cdot g(x+h)
} \tag{3}
$$

若要使上面的 $(3)$ 式成立，需要 $f(x)$ 为周期函数，论述如下——

若函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T$, 且 $h = nT$（$n$ 为整数），则：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(x+h) = f(x+nT) = f(x)
} \tag{4}
$$

此时，上面的 $(3)$ 式可以写成：

$$
\begin{align}
& f(x) \cdot g(x+k) = f(x) \cdot g(x+h) \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ g(x+k) = g(x+h) } \tag{5}
\end{align}
$$

若要使得上面的 $(5)$ 式成立，则需要有：

$$
k = h
$$

因此，结论为：当 $f(x)$ 为周期函数时——

若 $k > 0$, 且 $l > 0$, 则函数 $Z_{2}(x)$ 是由函数 $Z_{1}(x)$ 向左平移 $k$ 个单位得到的；类似的，若 $k < 0$, 且 $l < 0$, 则函数 $Z_{2}(x)$ 是由函数 $Z_{1}(x)$ 向右平移 $|k|$ 个单位得到的.

当然，常数函数也是一个特殊的周期函数，所以，当 $f(x)$ 为常数函数的时候，上面的结论也成立.