通过代换简化微分方程：函数代换

一、题目

利用代换 $y$ $=$ $\frac{u}{\cos x}$ 将原方程 $y ^{\prime \prime} \cos x – 2y ^{\prime} \sin x + 3y \cos x$ $=$ $\mathrm{e}^{x}$ 化简，并求出原方程的通解 $y(x)$.

二、解析

由 $y = \frac{u}{\cos x}$ 可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
u = y \cos x
} \tag{0}
$$

于是：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ u^{\prime} } & \textcolor{lightgreen}{=} \textcolor{lightgreen}{ y^{\prime} \cos x – y \sin x } \tag{1} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ u^{\prime \prime} } & = y^{\prime \prime} \cos x – y^{\prime} \sin x – y^{\prime} \sin x – y \cos x \notag \\
& \textcolor{lightgreen}{=} \textcolor{lightgreen}{ y^{\prime \prime} \cos x – 2y^{\prime} \sin x – y \cos x } \tag{2}
\end{align}
$$

将上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式代入原方程 $y ^{\prime \prime} \cos x – 2y ^{\prime} \sin x + 3y \cos x$ $=$ $\mathrm{e}^{x}$, 可得：

$$
\begin{align}
& y^{\prime \prime} \cos x – 2y^{\prime} \sin x + \textcolor{orange}{ 3y \cos x } = \mathrm{e}^{x} \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & y^{\prime \prime} \cos x – 2y^{\prime} \sin x \textcolor{orange}{ – y \cos x + 4y \cos x } = \mathrm{e}^{x} \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ u^{\prime \prime} + 4u = \mathrm{e}^{x} } \tag{3}
\end{align}
$$

上面的 $(3)$ 式是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，我们接下来就求解该微分方程.

首先，求解齐次微分方程 $u^{\prime \prime} + 4u = 0$ 的通解. 该微分方程对应的特征方程为 $\lambda^{2} + 4 = 0$, 解之得：

$$
\lambda = \pm 2i
$$

于是，根据《二阶常系数齐次微分方程通解的求解公式》可知，该齐次微分方程的通解为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\tilde{u}(x) = C_{1} \cos 2x + C_{2} \sin 2x
} \tag{4}
$$

接着，根据《用待定系数法求二阶非齐次微分方程特解时的设解方法》可知，非齐微分方程 $u^{\prime \prime} + 4u = \mathrm{e}^{x}$ 的特解可设为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
u^{*}(x) = A \mathrm{e}^{x}
} \tag{5}
$$

同时可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
u^{* \prime \prime} = A \mathrm{e}^{x}
} \tag{6}
$$

将上面的 $(5)$ 式和 $(6)$ 式代入非齐次微分方程 $u^{\prime \prime} + 4u = \mathrm{e}^{x}$, 可得：

$$
\begin{align}
& A \mathrm{e}^{x} + 4A \mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{x} \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & 5 A \mathrm{e}^{x} = \mathrm{e}^{x} \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{A = \frac{1}{5}} \tag{7}
\end{align}
$$

由上面的 $(5)$ 式和 $(7)$ 式可知，非齐次微分方程 $u^{\prime \prime} + 4u = \mathrm{e}^{x}$ 的特解为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
u^{*}(x) = \frac{1}{5} \mathrm{e}^{x}
} \tag{8}
$$

综上，由《二阶常系数线性非齐次方程的通解构成》，以及 $(4)$ 式和 $(8)$ 式，可知，非齐次微分方程 $u^{\prime \prime} + 4u = \mathrm{e}^{x}$ 的通解为：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{u} & = \tilde{u}+u^{*} \\
& \textcolor{lightgreen}{=} \textcolor{lightgreen}{ C_{1} \cos 2 x + C_{2} \sin 2 x + \frac{1}{5} \mathrm{e}^{x} }
\end{aligned}
$$

又因为 $y = \frac{u}{\cos x}$, 所以原方程 $y ^{\prime \prime} \cos x – 2y ^{\prime} \sin x + 3y \cos x$ $=$ $\mathrm{e}^{x}$ 的通解为：

$$
\begin{aligned}
y & = C_{1} \frac{\cos 2 x}{\cos x} + C_{2} \textcolor{orange}{ \frac{\sin 2 x}{\cos x} } + \frac{1}{5} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\cos x} \\ \\
& = C_{1} \frac{\cos 2 x}{\cos x} + C_{2} \textcolor{orange}{ \frac{2 \sin x \cos x}{\cos x} } + \frac{1}{5} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\cos x} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ C_{1} \frac{\cos 2 x}{\cos x} + 2 C_{2} \sin x + \frac{\mathrm{e}^{x}}{5 \cos x} }}
\end{aligned}
$$

其中 $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数.

拓展资料

与本题类似，如果有微分方程 $y ^{\prime \prime} \sin x + 2 y ^{\prime} \cos x + 3 y \sin x$ $=$ $\mathrm{e}^{x}$, 则可以通过令 $y = \frac{u}{\sin x}$ 做函数代换. 因为此时：

$$
u ^{\prime \prime} = y ^{\prime \prime} \sin x + 2 y ^{\prime} \cos x – y \sin x
$$

而原微分方程 $y ^{\prime \prime} \sin x + 2 y ^{\prime} \cos x + 3 y \sin x$ $=$ $\mathrm{e}^{x}$ 可以转化为：

$$
y ^{\prime \prime} \sin x + 2 y ^{\prime} \cos x – y \sin x + 4 y \sin x = \mathrm{e}^{x}
$$

因此，刚好可以用 $u ^{\prime \prime}$ 替换 $y ^{\prime \prime} \sin x + 2 y ^{\prime} \cos x – y \sin x$, 用 $4 u$ 替换 $4 y \sin x$, 从而实现对原微分方程的化简.

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