利用 $\mathrm{e}^{kx}$ 的求导特性凑原函数

题目

一、题目

设 $F(x) = f(x) g(x)$，其中函数 $f(x)$, $g(x)$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 内满足以下条件：

$\textcolor{yellow}{f ^{\prime} (x) = g(x)}$，$\textcolor{yellow}{g ^{\prime} (x) = f(x)}$，$\textcolor{yellow}{f(0) = 0}$，$\textcolor{yellow}{f(x) + g(x) = 2 \mathrm{e}^{x}}$.

请解答下面的问题：

(Ⅰ) 求 $F(x)$ 所满足的一阶微分方程；

(Ⅱ) 求出 $F(x)$ 的表达式.

二、解析

第（Ⅰ）问

对 $F(x) = f(x)g(x)$ 求导，得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
F ^{\prime} (x)=f ^{\prime} (x)g(x) + f(x)g ^{\prime} (x)
} \tag{1}
$$

又由题可知 $\textcolor{yellow}{f ^{\prime} (x) = g(x)}$，$\textcolor{yellow}{g ^{\prime} (x) = f(x)}$，且 $\textcolor{yellow}{f(x) + g(x) = 2 \mathrm{e}^{x}}$, 所以，上面的 $(1)$ 式可转化为：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ F ^{\prime} (x) } & = g^{2}(x) + f^{2}(x) \\ \\
& =[f(x)+g(x)]^{2}-2f(x)g(x) \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ 4 \mathrm{e}^{2x} – 2F(x) }
\end{aligned}
$$

于是可知，函数 $F(x)$ 所满足的一阶微分方程为：

$$
\textcolor{springgreen}{
F ^{\prime} (x) + 2F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}
} \tag{2}
$$

又由题目已知条件 $\textcolor{yellow}{ f(0) = 0 }$ 可知，该一阶微分方程得初始条件为：

$$
F(0) = f(0)g(0) = 0
$$

事实上，这里求出来得一阶微分方程是一个一阶线性微分方程。

第（Ⅱ）问

根据第（Ⅰ）问，我们得到了下面这个一阶微分方程：

$$
\textcolor{springgreen}{
F ^{\prime} (x) + 2F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}
} \tag{2}
$$

那么，如果要将 $(2)$ 式中的 $F ^{\prime} (x) + 2 F(x)$ 凑成 $f(x) F(x)$ 的形式，则 $f(x)$ 应该是多少呢？

观察可知，如果对 $f(x) F(x)$ 进行求导，则有：

$$
\textcolor{orange}{ \left[ f(x) F(x) \right] ^{\prime} = f(x) F ^{\prime} (x) + f ^{\prime} (x) F(x) } \tag{3}
$$

很显然，如果要根据上面的 $(3)$ 式来凑 $(2)$ 式，那么，就需要有：

$$
\textcolor{magenta}{ f ^{\prime} (x) = 2f(x) } \tag{4}
$$

在我们常见的函数中，只有底数为 $\mathrm{e}$ 的幂函数容易符合上面 $(4)$ 式的性质，例如：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\left( \mathrm{e}^{kx} \right) ^{\prime} = k \mathrm{e}^{kx} \\ \\
\left( \mathrm{e}^{kx} \right) ^{\prime \prime} = k \cdot k \mathrm{e}^{kx}
\end{cases} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \begin{cases}
\left( \mathrm{e}^{2x} \right) ^{\prime} = 2 \mathrm{e}^{2x} \\ \\
\left( \mathrm{e}^{2x} \right) ^{\prime \prime} = 2 \cdot 2 \mathrm{e}^{2x}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

所以，如果我们给 $F ^{\prime} (x) + 2F(x)$ 的每一项都乘上一个 $\mathrm{e}^{2x}$, 就会得到：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2x} \left[ F ^{\prime} (x) + 2F(x) \right] \\ \\
= \ & \mathrm{e}^{2x} F ^{\prime} (x) + 2 \mathrm{e}^{2x} F(x) \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{ \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} }
\end{aligned}
$$

既然上面的式子中出现了原函数 $F(x)$, 而且是一个带有求导符号的式子，我们就很容易进行积分运算写出原函数了，于是，我们在 $(2)$ 式的等号两端同时乘以 $\mathrm{e}^{2x}$, 得：

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2x} \left[ \textcolor{springgreen}{F ^{\prime} (x) + 2F(x)} \right] = \mathrm{e}^{2x} \cdot \textcolor{springgreen}{ 4 \mathrm{e}^{2x} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} = 4 \mathrm{e}^{4x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \int \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} \mathrm{~d} x = 4 \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \mathrm{e}^{2x} F(x) = \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} \left( 4x \right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \mathrm{e}^{2x} F(x) = \mathrm{e}^{4x} + C \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & F(x) = \frac{\mathrm{e}^{4x} + C}{\mathrm{e}^{2x}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ F(x) = \mathrm{e}^{2x} + C \mathrm{e}^{-2x} }
\end{aligned}
$$

将 $F(0) = 0$ 代入上式，得：

$$
1 + C = 0 \leadsto \textcolor{lightgreen}{ C = -1 }
$$

综上可知：

$$
\textcolor{lightgreen}{
F(x) = \mathrm{e}^{2x} – \mathrm{e}^{-2x}
}
$$

当然，直接使用一阶线性微分方程的求解公式，也可以求解出 $F(x)$ 的表达式：

由前面的 $(2)$ 式，即 $F ^{\prime} (x) + 2 F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}$ 可得：

$$
\begin{aligned}
F(x) = & \ \left[ 4 \mathrm{e}^{2x} \cdot \mathrm{e}^{\int 2 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{- \int 2 \mathrm{~d} x} \\ \\
= & \ \left[ 4 \int \mathrm{e}^{2x} \cdot \mathrm{e}^{2x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ 4 \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} \left( 4x \right) + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ \mathrm{e}^{4x} + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \mathrm{e}^{2x} + C \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
\leadsto & \ \textcolor{gray}{F(0) = 0} \\ \\
= & \ \mathrm{e}^{2x} – \mathrm{e}^{-2x}
\end{aligned}
$$

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