配平分子分母的时候，可以直接用具体的极限值

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 + \sin x}}{x^{2} – x \ln (1+x)} = ?
$$

二、解析

分析可知，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，原式 $I$ 是一个 $\frac{0}{0}$ 型的未定式，也就是说，式子 $I$ 的极限可能存在，也可能不存在（一般情况下，这类题目的极限都是存在的）。

但是，题目中给出的 $\frac{0}{0}$ 型未定式步能直接使用等价无穷小替换公式进行化简，所以，还需要做适当的变形。

观察可知，如果在式子 $I$ 的分子上乘上 $\sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x}$, 则式子 $I$ 的分子部分可变形为：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \left( \sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 + \sin x} \right) \left( \sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x} \right) \\ \\
= \ & \left( 1 + \tan x \right) – \left( 1 + \sin x \right) \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{\tan x – \sin x}
\end{aligned}
$$

同时，由于：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \left( \sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x} \right) \\ \\
= \ & 1 + 1 \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{2}
\end{aligned}
$$

所以，在进行分子分母配平（也就是让变形后的分子和分母重新和原来相等）的时候，没有必要在分母上乘以 $\left( \sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x} \right)$, 直接对整个分式乘以 $\textcolor{red}{ \frac{1}{2} }$ 即可（即乘以 $\lim_{x \rightarrow 0} \left( \sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x} \right)$ 极限值的倒数）。

综上，对式子 $I$ 的求解过程如下：

$$
\begin{aligned}
I = \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 + \sin x}}{x^{2} – x \ln (1+x)} \\ \\
= \ & \textcolor{red}{ \frac{1}{2} } \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left( \sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 + \sin x} \right) \left( \sqrt{1 + \tan x} + \sqrt{1 + \sin x} \right)}{x^{2} – x \ln (1+x)} \\ \\
= \ & \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left( 1 + \tan x \right) – \left( 1 + \sin x \right)}{x^{2} – x \ln (1+x)} \\ \\
= \ & \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\textcolor{orange}{ \tan x – \sin x }}{x^{2} – x \ln (1+x)} \\ \\
= \ & \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\textcolor{orange}{ \left[ \left( \tan x – x \right) – \left( \sin x – x \right) \right] }}{\textcolor{yellow}{ x^{2} – x \ln (1+x) }} \\ \\
= \ & \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[ \left( \tan x – x \right) – \left( \sin x – x \right) \right]}{\textcolor{yellow}{ x \left[ x – \ln (1+x) \right] }} \\ \\
= \ & \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[ \left( \frac{1}{3}x^{3} \right) – \left( \frac{-1}{6} x^{3} \right) \right]}{x \left( \frac{1}{2}x^{2} \right) } \\ \\
= \ & \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[ \left( \frac{1}{3} \cdot \textcolor{orangered}{ \cancel{ \textcolor{white}{ x^{3} } } } \right) – \left( \frac{-1}{6} \cdot \textcolor{orangered}{ \cancel{ \textcolor{white}{ x^{3} } } } \right) \right]}{ \frac{1}{2} \cdot \textcolor{orangered}{ \cancel{ \textcolor{white}{ x^{3} } } } } \\ \\
= \ & \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[ \left( \frac{1}{3} \right) – \left( \frac{-1}{6} \right) \right]}{ \frac{1}{2} } \\ \\
= \ & \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6} }{ \frac{1}{2} } \\ \\
= \ & \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$

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