做复合函数逆复合运算的时候，该不该用换元法？

逆复合运算

我们知道，如果将 $g \left( x \right) = x^{2} + 16$ 代入到函数 $f \left( x \right)$ 中，就得到了复合函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$.

如果要给函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$ 换一个表达上的形式，则可以写成：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left( x^{2} + 1 \right)
}
$$

上面的过程是将函数 $f(x)$ 变成函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$, 我们称之为“ 复合运算 ”；如果是将函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$ 变成函数 $f \left( x \right)$, 就是本文所说的“ 逆复合运算 ”。

在本文中，我们讨论的重点是，在对形如 “$f \left( x^{2} + 1 \right)$” 这样的复合函数进行逆复合运算的时候，什么情况下适合用换元法，什么情况下不适合用换元法。

题目一

已知 $f\left( x + \frac{1}{x} \right) = \frac{x^{2}}{x^{4}+1}$, 求 $f \left( x \right)$.

难度评级：

解析一

对于本题我们首先尝试用换元法，令 $t = x + \frac{1}{x}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& t = x + \frac{1}{x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & x^{2} – tx + 1 = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & x = \frac{t \pm \sqrt{t^{2} – 4}}{2}
\end{aligned}
$$

上面的换元法带来了两个问题：

一个问题是，换元之后得到的量 “$\frac{t \pm \sqrt{t^{2} – 4}}{2}$” 比换元之前的量 “$x + \frac{1}{x}$” 还要复杂，增加了运算的难度；

另一个问题是，换元之前的量 “$x + \frac{1}{x}$” 的定义域是 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$, 而换元之后的量 “$\frac{t \pm \sqrt{t^{2} – 4}}{2}$” 为了保证根号下的 $t^{2} – 4 \geqslant 0$, 需要有 $|t| \leqslant 2$, 因此定义域为 $(- \infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

很显然，上面的换元操作导致定义域变小了，那么，基于这样的换元所得函数和原来的函数就不能再认为是等价的。

基于以上两个原因，我们不能对 $f \left( x + \frac{1}{x} \right)$ 使用换元法，而应该对 $f\left( x + \frac{1}{x} \right)$ 的表达式进行合适的拆分转化，使得表达式中的变量 $x$ 都集中在 $x + \frac{1}{x}$ 这样的式子中，即：

$$
\begin{aligned}
f\left(x + \frac{1}{x} \right) & = \frac{x^{2}}{x^{4}+1} \\ \\
& = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}}} \\ \\
& = \frac{1}{\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2} – 2} \\ \\
& \leadsto \textcolor{gray}{t = x + \frac{1}{x}} \\ \\
& = \frac{1}{t^{2} – 2}
\end{aligned}
$$

接着，再令 $x = t$, 即可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(x)=\frac{1}{x^{2}-2}
}
$$

题目二

设 $f \left(\frac{x+1}{x-1}\right)=3f(x) – 2x$, 则 $f(x) = ?$

难度评级：

解析二

对于本题，我们仍然首先考虑用换元法，令 $t = \frac{x+1}{x-1}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& t = \frac{x+1}{x-1} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & tx – t = x + 1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & tx – x = t + 1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & x = \frac{t+1}{t-1}
\end{aligned}
$$

可以看到，换元之后得到的量 “$\frac{t+1}{t-1}$” 和换元之前的量 “$\frac{x+1}{x-1}$”, 复杂程度基本一致，定义域也都是 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$, 因此，本题可以尝试用换元法计算。

于是，对于 $f \left(\frac{x+1}{x-1}\right)=3f(x) – 2x$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
f \left( t \right) & = 3 \textcolor{orange}{ f\left(\frac{t+1}{t-1}\right) } – \frac{2t+2}{t-1} \\ \\
& = 3 \textcolor{orange}{ \left[ 3f \left( t \right)-2t \right] } – \frac{2t+2}{t-1}
\end{aligned}
$$

令 $x = t$, 则：

$$
\begin{aligned}
& 8 f \left( t \right) = 6t + 2 \frac{t+1}{t-1} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ f \left( x \right) = \frac{3}{4} x + \frac{1}{4} \frac{x+1}{x-1} }
\end{aligned}
$$