概率论中的 $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ 表示什么意思？

一、前言

在一些概率论和数理统计的题目或者学习资料中，我们可能会看到如下这样的写法：

$$
\begin{pmatrix}
n \\
k
\end{pmatrix}
$$

那么，上面这个式子是什么意思呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细解答一下。

二、正文

首先，$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ 就是概率论和数理统计中常用的“组合”运算的另一种写法，所以，下面的几个式子都是等价的：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \\ \\
\Leftrightarrow \ & C \left( n, k \right) \\ \\
\Leftrightarrow \ & C_{n}^{k}
\end{aligned}
}
$$

组合的运算方式和性质如下：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
& \begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}} \quad C_{n}^{k} & = \frac{n!}{ k!(n – k)! } \\
& = \frac{ n( n – 1 )( n – 2 ) \cdots (n – k + 1 ) }{k!}
\end{aligned} \\ \\
& \textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}} \quad C_{n}^{0} = 1 \\ \\
& \textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}} \quad 2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \cdots + C_{n}^{n} \\ \\
& \textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}} \quad C_{n}^{k} = C_{n}^{ n-k } \\ \\
& \textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}} \quad C_{n+1}^{k} = C_{n}^{k} + C_{n}^{ k-1 } \quad ( k \leq n )
\end{aligned}
}
$$

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