概率论中的 (n k) 表示什么意思？

一、前言

在一些概率论和数理统计的题目或者学习资料中，我们可能会看到如下这样的写法：

$(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$

那么，上面这个式子是什么意思呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细解答一下。

二、正文

首先， $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ 就是概率论和数理统计中常用的“组合”运算的另一种写法，所以，下面的几个式子都是等价的：

$\begin{aligned} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) \\ \Leftrightarrow & C (n, k) \\ \Leftrightarrow & C_{n}^{k} \end{aligned}$

组合的运算方式和性质如下：

$\begin{aligned} \begin{aligned} ⋆ C_{n}^{k} & = \frac{n!}{k! (n - k)!} \\ = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{k!} \end{aligned} \\ ⋆ C_{n}^{0} = 1 \\ ⋆ 2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} \\ ⋆ C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} \\ ⋆ C_{n + 1}^{k} = C_{n}^{k} + C_{n}^{k - 1} (k \leq n) \end{aligned}$