连续型随机变量的分布函数为什么要从 $-\infty$ 大开始积分？

一、前言

我们知道，连续型随机变量 $\xi$ 的分布函数 $F$ 能够表示为非负可积的概率密度函数（分布密度函数）$p$ 在区间 $(- \infty, x)$ 上的积分，即：

$$
F(x) = \int_{\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ – \infty }}}^{x} p(t) \mathrm{~d} t
$$

其中，$- \infty < x < + \infty$.

但是，为什么对 $p(t)$ 的积分要从 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ -\infty }}$ 开始呢？

二、正文

在开始接下来的讨论之前，假设我们具有如图 01 所示的一个分布函数 $F$:

其实，对 $p(t)$ 的积分要从 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ -\infty }}$ 开始的根本原因是我们对概率的分布规定了“方向”——

当 $x \rightarrow – \infty$ 的时候，我们认为概率为 $0$, 即：$p \{\xi < – \infty \}$ $=$ $0$, 如图 02 所示：

当 $x \rightarrow + \infty$ 的时候，我们认为概率为 $1$, 即：$p \{\xi < – \infty \}$ $=$ $1$ $=$ $100 \%$, 如图 03 所示（图中橙色阴影区域的面积等于 1）：

因此，若概率 $p$ $=$ $30 \%$, 则随机事件 $x$ 就会落在如图 04 所示的绿色阴影区域中。由于无论随机事件 $x$ 落在这个区域中的哪里，都是概率为 $30 \%$ 的一部分，即便是位于 $x \rightarrow – \infty$ 的位置依然如此，所以，我们就要从 $- \infty$ 开始积分。

当然，我们也可以将对概率分布的方向定义反过来，更改为当 $x \rightarrow + \infty$ 时，$p$ $=$ $0$, 当 $x \rightarrow – \infty$ 时，$p$ $=$ $1$, 此时分布函数 $G(x)$ 为：

$$
G(x) = \int_{x}^{\textcolor{orangered}{\boldsymbol{ + \infty }}} p(t) \mathrm{~d} t
$$

但是，由于 $x$ $<$ $+ \infty$, 所以，如果按照我们之前对积分运算的定义计算上面的式子，就会产生 $G(x)$ 始终小于零的情况（如图 05 所示）——除非我们令概率密度函数始终为负，或者修改关于积分运算的定义，但这些措施都略显别扭，且会让数学定理变得不能“向下兼容”，所以，还是定义为从负无穷大到正无穷大，概率越来越大，更加简单直接，也更加符合我们的一般认识规律。

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