一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
\boldsymbol{A B} = ?
$$
难度评级：
二、解析 
本题最常规的解法就是根据矩阵的乘法法则，直接进行矩阵 $\boldsymbol{A}$ 乘以矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的运算。
但是，考研数学真题往往会强调题目的灵活性与技巧性，很少会让我们处理简单但繁琐的运算——
我们仔细观察可以发现，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 中都存在一些特殊的矩阵，比如单位矩阵、零矩阵，以及仅仅由元素 $1$ 和元素 $0$ 组成的矩阵——这样的矩阵虽然不是单位矩阵，但有时候在乘法中的实际作用与单位矩阵无异。
于是，我们可以先对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 进行分块，之后按照分块矩阵的计算方式实现矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的计算。
对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们可以令：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} \\
\textcolor{springgreen}{2} & \textcolor{springgreen}{2} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1}
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{\boldsymbol{E}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}_{a}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{E}}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
对于矩阵 $\boldsymbol{B}$, 我们可以令：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{B} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\textcolor{tan}{1} & \textcolor{tan}{0} \\
\textcolor{tan}{1} & \textcolor{tan}{2} \\
\textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{1} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{1}
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\textcolor{tan}{\boldsymbol{B}_{b}} \\
\textcolor{red}{\boldsymbol{B}_{bb}} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{AB} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{A}_{a} & \boldsymbol{E}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\boldsymbol{B}_{b} \\
\boldsymbol{B}_{bb} \\
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\boldsymbol{B}_{b} \\
\boldsymbol{A}_{a} \boldsymbol{B}_{b} + \boldsymbol{B}_{bb}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}_{a} \boldsymbol{B}_{b} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
4 & 4
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
所以：
$$
\boldsymbol{A}_{a} \boldsymbol{B}_{b} + \boldsymbol{B}_{bb} = \begin{bmatrix}
\textcolor{magenta}{2} & \textcolor{magenta}{1} \\
\textcolor{magenta}{4} & \textcolor{magenta}{5}
\end{bmatrix}
$$
综上：
$$
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{AB}} = \begin{bmatrix}
\textcolor{tan}{1} & \textcolor{tan}{0} \\
\textcolor{tan}{1} & \textcolor{tan}{2} \\
\textcolor{magenta}{2} & \textcolor{magenta}{1} \\
\textcolor{magenta}{4} & \textcolor{magenta}{5}
\end{bmatrix}
$$
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