一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知:
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
则:
$$
\boldsymbol{A B} = ?
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
本题最常规的解法就是根据矩阵的乘法法则,直接进行矩阵 $\boldsymbol{A}$ 乘以矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的运算。
但是,考研数学真题往往会强调题目的灵活性与技巧性,很少会让我们处理简单但繁琐的运算——
我们仔细观察可以发现,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 中都存在一些特殊的矩阵,比如单位矩阵、零矩阵,以及仅仅由元素 $1$ 和元素 $0$ 组成的矩阵——这样的矩阵虽然不是单位矩阵,但有时候在乘法中的实际作用与单位矩阵无异。
于是,我们可以先对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 进行分块,之后按照分块矩阵的计算方式实现矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的计算。
对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们可以令:
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orange}{0} & \textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{0} & \textcolor{orangered}{1} & \textcolor{orangered}{0} \\
\textcolor{springgreen}{2} & \textcolor{springgreen}{2} & \textcolor{orangered}{0} & \textcolor{orangered}{1}
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\textcolor{orangered}{\boldsymbol{E}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{O}} \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}_{a}} & \textcolor{orangered}{\boldsymbol{E}}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
对于矩阵 $\boldsymbol{B}$, 我们可以令:
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{B} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\textcolor{tan}{1} & \textcolor{tan}{0} \\
\textcolor{tan}{1} & \textcolor{tan}{2} \\
\textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{1} \\
\textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{1}
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\textcolor{tan}{\boldsymbol{B}_{b}} \\
\textcolor{red}{\boldsymbol{B}_{bb}} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
于是:
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{AB} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\boldsymbol{E} & \boldsymbol{O} \\
\boldsymbol{A}_{a} & \boldsymbol{E}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\boldsymbol{B}_{b} \\
\boldsymbol{B}_{bb} \\
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
\boldsymbol{B}_{b} \\
\boldsymbol{A}_{a} \boldsymbol{B}_{b} + \boldsymbol{B}_{bb}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
又因为:
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}_{a} \boldsymbol{B}_{b} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
1 & 2
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
4 & 4
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
所以:
$$
\boldsymbol{A}_{a} \boldsymbol{B}_{b} + \boldsymbol{B}_{bb} = \begin{bmatrix}
\textcolor{magenta}{2} & \textcolor{magenta}{1} \\
\textcolor{magenta}{4} & \textcolor{magenta}{5}
\end{bmatrix}
$$
综上:
$$
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{AB}} = \begin{bmatrix}
\textcolor{tan}{1} & \textcolor{tan}{0} \\
\textcolor{tan}{1} & \textcolor{tan}{2} \\
\textcolor{magenta}{2} & \textcolor{magenta}{1} \\
\textcolor{magenta}{4} & \textcolor{magenta}{5}
\end{bmatrix}
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。