矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的:即便他们相乘得单位矩阵

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由于:

$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{BAB}}) = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{A} ^{-1}} = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$

所以:

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{BAB} = \boldsymbol{A} ^{-1}
}
$$

综上,

由于:

$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{ABA}}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{magenta}{\boldsymbol{B} ^{-1}} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$

所以:

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{ABA} = \boldsymbol{B} ^{-1}
}
$$

综上,

由 $(\boldsymbol{AB}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$ 可知:

$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E}
$$

或者:

$$
\boldsymbol{AB} = (-1)^{\alpha} \boldsymbol{E}
$$

其中,$\alpha$ 为非零正整数,可能为奇数,也可能为偶数,且 $\alpha$ 小于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的阶数 $n$.

因此,根据荒原之梦考研数学的《矩阵乘法一般是不能交换的:除非他们相乘得单位矩阵》这篇文章可知,如果两个矩阵相乘得单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 则可以交换这两个矩阵在矩阵乘法中的位置,即:

$$
\boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E}
$$

同时,由于常数乘法中,两个常数之间的位置是可以交换的,因此,带有常数的 $(-1) ^{\alpha}$ 的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 在下式中也成立:

$$
\boldsymbol{BA} = (-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}
$$

于是,有:

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{E}
}
$$

当然,我们也可以通过如下的推导过程证明该结论:

$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{ABAB}) = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} (\boldsymbol{ABAB}) \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}} = \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{E} \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) (\boldsymbol{BA}) (\boldsymbol{BA}) = (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) (\boldsymbol{BA}) = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

除此之外,还有一种方法证明该结论正确:

$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{A} (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol{B} \textcolor{tan}{\boldsymbol{B} ^{-1}} = \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{E} \textcolor{tan}{\boldsymbol{B} ^{-1}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{BA} = \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}^{-1}} \textcolor{tan}{\boldsymbol{B} ^{-1}} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{BA} (\boldsymbol{A} ^{-1} \boldsymbol{B} ^{-1}) \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{E} \boldsymbol{B} ^{-1} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

综上,

根据前面的分析可知,由 $(\boldsymbol{AB}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 可得 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{E}$ 或者 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$, 所以:

  1. 如果 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 则:

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}} = \textcolor{magenta}{\boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{E}} \boldsymbol{B} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{\boldsymbol{AB}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{\boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} = \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

  1. $\boldsymbol{AB}$ $=$ $(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$, 则:

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}} = \textcolor{magenta}{(-1)^{\alpha} \boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{(-1)^{\alpha} \boldsymbol{E}}) \boldsymbol{B} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{(-1)^{\alpha} \boldsymbol{AB}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{(-1)^{2\alpha} \boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} = (-1)^{2\alpha} \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

根据前面 “Note-01” 的分析可知,只要上式中的 $\alpha$ $\neq$ $0$, 就有:

$$
\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} = (-1)^{2\alpha} \boldsymbol{E} \textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}
$$

当然,我们也可以通过举反例来证明该结论不正确。例如,若令:

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

则:

$$
\boldsymbol{AB} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
$$

进而有:

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
& = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$

但是:

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\boldsymbol{A} ^{2} & = \begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} ^{2} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \boldsymbol{E} \\ \\
= & \boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{E} \\ \\
= & \boldsymbol{A} ^{2} \textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

综上,

综上可知, 的结论为: 荒原之梦考研数学 | 本文结束


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