矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的:即便他们相乘得单位矩阵

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由于:

(AB)2=EA(BAB)=EAA1=E

所以:

BAB=A1

综上,

由于:

(AB)2=E(ABA)B=EB1B=E

所以:

ABA=B1

综上,

(AB)2 = E 可知:

AB=E

或者:

AB=(1)αE

其中,α 为非零正整数,可能为奇数,也可能为偶数,且 α 小于矩阵 AB 的阶数 n.

因此,根据荒原之梦考研数学的《矩阵乘法一般是不能交换的:除非他们相乘得单位矩阵》这篇文章可知,如果两个矩阵相乘得单位矩阵 E, 则可以交换这两个矩阵在矩阵乘法中的位置,即:

BA=E

同时,由于常数乘法中,两个常数之间的位置是可以交换的,因此,带有常数的 (1)α 的单位矩阵 E 在下式中也成立:

BA=(1)αE

于是,有:

(BA)2=E

当然,我们也可以通过如下的推导过程证明该结论:

(AB)2=E(ABAB)=EB(ABAB)A=BEA(BA)(BA)(BA)=(BA)E(BA)(BA)=E(BA)2=E

除此之外,还有一种方法证明该结论正确:

(AB)2=EA(BA)B=EA1A(BA)BB1=A1EB1BA=A1B1(BA)2=BA(A1B1)(BA)2=BEB1(BA)2=E

综上,

根据前面的分析可知,由 (AB)2 = E, 可得 AB = E 或者 AB = (1)αE, 所以:

  1. 如果 AB = E, 则:

AB=EA(AB)B=AEBAABB=ABAABB=EA2B2=E

  1. AB = (1)αE, 则:

AB=(1)αEA(AB)B=A((1)αE)BAABB=(1)αABAABB=(1)2αEA2B2=(1)2αE

根据前面 “Note-01” 的分析可知,只要上式中的 α 0, 就有:

A2B2=(1)2αEE

当然,我们也可以通过举反例来证明该结论不正确。例如,若令:

A=[1101]B=[1101]

则:

AB=[1001]

进而有:

AB=[1001][1001]=[1001]=E

但是:

{A2=[1201]B2=[1001]A2B2=[1201][1001]=[1201]E=A2E=A2E

综上,

综上可知, 的结论为: 荒原之梦考研数学 | 本文结束


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