一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知,$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵,且:
$$
(\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E}
$$
则下列结论中,一定正确为( )
① $\boldsymbol{BAB}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$
② $\boldsymbol{ABA}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{-1}$
③ $(\boldsymbol{BA}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
④ $\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
①
由于:
$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{BAB}}) = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{A} ^{-1}} = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$
所以:
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{BAB} = \boldsymbol{A} ^{-1}
}
$$
综上,结 论 ① 正 确 。
②
由于:
$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{ABA}}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{magenta}{\boldsymbol{B} ^{-1}} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$
所以:
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{ABA} = \boldsymbol{B} ^{-1}
}
$$
综上,结 论 ② 正 确 。
③
由 $(\boldsymbol{AB}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$ 可知:
$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E}
$$
或者:
$$
\boldsymbol{AB} = (-1)^{\alpha} \boldsymbol{E}
$$
其中,$\alpha$ 为非零正整数,可能为奇数,也可能为偶数,且 $\alpha$ 小于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的阶数 $n$.
因此,根据荒原之梦考研数学的《矩阵乘法一般是不能交换的:除非他们相乘得单位矩阵》这篇文章可知,如果两个矩阵相乘得单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 则可以交换这两个矩阵在矩阵乘法中的位置,即:
$$
\boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E}
$$
同时,由于常数乘法中,两个常数之间的位置是可以交换的,因此,带有常数的 $(-1) ^{\alpha}$ 的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 在下式中也成立:
$$
\boldsymbol{BA} = (-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}
$$
于是,有:
$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{E}
}
$$
Note-01
对 $(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$ 中 $(-1) ^{\alpha}$ 的理解要特别注意:只要 $\alpha$ $\neq$ $0$, 无论 $\alpha$ 是奇数,还是偶数,下式都不成立:
$(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$ $=$ $\boldsymbol{E}$
例如,当 $\alpha$ $=$ $1$ 的时候,若 $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵,则:
$\textcolor{magenta}{(-1)^{1}} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} \end{bmatrix}$ $\textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}$
当 $\alpha$ $=$ $2$ 的时候,若 $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵,则:
$\textcolor{magenta}{(-1)^{2}} \begin{bmatrix} \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} \end{bmatrix}$ $\textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}$
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当然,我们也可以通过如下的推导过程证明该结论:
$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{ABAB}) = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} (\boldsymbol{ABAB}) \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}} = \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{E} \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) (\boldsymbol{BA}) (\boldsymbol{BA}) = (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) (\boldsymbol{BA}) = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$
除此之外,还有一种方法证明该结论正确:
$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{A} (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol{B} \textcolor{tan}{\boldsymbol{B} ^{-1}} = \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{E} \textcolor{tan}{\boldsymbol{B} ^{-1}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{BA} = \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}^{-1}} \textcolor{tan}{\boldsymbol{B} ^{-1}} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{BA} (\boldsymbol{A} ^{-1} \boldsymbol{B} ^{-1}) \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{E} \boldsymbol{B} ^{-1} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$
综上,结 论 ③ 正 确 。
④
根据前面的分析可知,由 $(\boldsymbol{AB}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 可得 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{E}$ 或者 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$, 所以:
- 如果 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 则:
$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}} = \textcolor{magenta}{\boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{E}} \boldsymbol{B} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{\boldsymbol{AB}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{\boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} = \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$
- $\boldsymbol{AB}$ $=$ $(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$, 则:
$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}} = \textcolor{magenta}{(-1)^{\alpha} \boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{(-1)^{\alpha} \boldsymbol{E}}) \boldsymbol{B} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{(-1)^{\alpha} \boldsymbol{AB}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{(-1)^{2\alpha} \boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} = (-1)^{2\alpha} \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$
根据前面 “Note-01” 的分析可知,只要上式中的 $\alpha$ $\neq$ $0$, 就有:
$$
\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} = (-1)^{2\alpha} \boldsymbol{E} \textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}
$$
当然,我们也可以通过举反例来证明该结论不正确。例如,若令:
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
则:
$$
\boldsymbol{AB} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
$$
进而有:
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
& = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$
但是:
$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\boldsymbol{A} ^{2} & = \begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} ^{2} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \boldsymbol{E} \\ \\
= & \boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{E} \\ \\
= & \boldsymbol{A} ^{2} \textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$
综上,结 论 ④ 不 一 定 正 确 。
综上可知,一 定 正 确 的结论为:① ② ③
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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