矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的：即便他们相乘得单位矩阵

一、题目

① $\boldsymbol{BAB}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

② $\boldsymbol{ABA}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{-1}$

③ $(\boldsymbol{BA}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

④ $\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

难度评级：

二、解析

①

由于：

$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{BAB}}) = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{A} ^{-1}} = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{BAB} = \boldsymbol{A} ^{-1}
}
$$

综上，结 论 ① 正 确 。

②

由于：

$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{ABA}}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{magenta}{\boldsymbol{B} ^{-1}} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{ABA} = \boldsymbol{B} ^{-1}
}
$$

综上，结 论 ② 正 确 。

③

由 $(\boldsymbol{AB}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$ 可知：

$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E}
$$

或者：

$$
\boldsymbol{AB} = (-1)^{\alpha} \boldsymbol{E}
$$

其中，$\alpha$ 为非零正整数，可能为奇数，也可能为偶数，且 $\alpha$ 小于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 的阶数 $n$.

因此，根据荒原之梦考研数学的《矩阵乘法一般是不能交换的：除非他们相乘得单位矩阵》这篇文章可知，如果两个矩阵相乘得单位矩阵 $\boldsymbol{E}$, 则可以交换这两个矩阵在矩阵乘法中的位置，即：

$$
\boldsymbol{BA} = \boldsymbol{E}
$$

同时，由于常数乘法中，两个常数之间的位置是可以交换的，因此，带有常数的 $(-1) ^{\alpha}$ 的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 在下式中也成立：

$$
\boldsymbol{BA} = (-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}
$$

于是，有：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{E}
}
$$

Note-01

对 $(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$ 中 $(-1) ^{\alpha}$ 的理解要特别注意：只要 $\alpha$ $\neq$ $0$, 无论 $\alpha$ 是奇数，还是偶数，下式都不成立：

$(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

例如，当 $\alpha$ $=$ $1$ 的时候，若 $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵，则：

$\textcolor{magenta}{(-1)^{1}} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} \end{bmatrix}$ $\textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}$

当 $\alpha$ $=$ $2$ 的时候，若 $\boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵，则：

$\textcolor{magenta}{(-1)^{2}} \begin{bmatrix} \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} \end{bmatrix}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{black}{\colorbox{pink}{-1}} \end{bmatrix}$ $\textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}$

zhaokaifeng.com

当然，我们也可以通过如下的推导过程证明该结论：

$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{ABAB}) = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} (\boldsymbol{ABAB}) \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}} = \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{E} \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) (\boldsymbol{BA}) (\boldsymbol{BA}) = (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) (\boldsymbol{BA}) = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

除此之外，还有一种方法证明该结论正确：

$$
\begin{aligned}
& (\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{A} (\boldsymbol{BA}) \boldsymbol{B} \textcolor{tan}{\boldsymbol{B} ^{-1}} = \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}^{-1}} \boldsymbol{E} \textcolor{tan}{\boldsymbol{B} ^{-1}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{BA} = \textcolor{pink}{\boldsymbol{A}^{-1}} \textcolor{tan}{\boldsymbol{B} ^{-1}} \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{BA} (\boldsymbol{A} ^{-1} \boldsymbol{B} ^{-1}) \\ \\
\Leftrightarrow & (\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{E} \boldsymbol{B} ^{-1} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{(\boldsymbol{BA}) ^{2} = \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

综上，结 论 ③ 正 确 。

④

根据前面的分析可知，由 $(\boldsymbol{AB}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 可得 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{E}$ 或者 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$, 所以：

1. 如果 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}} = \textcolor{magenta}{\boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} \textcolor{magenta}{\boldsymbol{E}} \boldsymbol{B} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{\boldsymbol{AB}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{\boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} = \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

2. $\boldsymbol{AB}$ $=$ $(-1) ^{\alpha} \boldsymbol{E}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}} = \textcolor{magenta}{(-1)^{\alpha} \boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{\boldsymbol{AB}}) \boldsymbol{B} = \boldsymbol{A} (\textcolor{magenta}{(-1)^{\alpha} \boldsymbol{E}}) \boldsymbol{B} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{(-1)^{\alpha} \boldsymbol{AB}} \\ \\
\Leftrightarrow & \boldsymbol{AABB} = \textcolor{yellow}{(-1)^{2\alpha} \boldsymbol{E}} \\ \\
\Leftrightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} = (-1)^{2\alpha} \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

根据前面 “Note-01” 的分析可知，只要上式中的 $\alpha$ $\neq$ $0$, 就有：

$$
\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} = (-1)^{2\alpha} \boldsymbol{E} \textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}
$$

当然，我们也可以通过举反例来证明该结论不正确。例如，若令：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

则：

$$
\boldsymbol{AB} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
$$

进而有：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix} \\ \\
& = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
& = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$

但是：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\boldsymbol{A} ^{2} & = \begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} ^{2} & = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
= & \begin{bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \boldsymbol{E} \\ \\
= & \boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{E} \\ \\
= & \boldsymbol{A} ^{2} \textcolor{orangered}{\neq \boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$

综上，结 论 ④ 不 一 定 正 确 。

综上可知，一 定 正 确 的结论为：① ② ③

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