对复杂的反常积分敛散性的判别，可以适当的画一个思路图

一、题目

难度评级：

二、解析

解 题 思 路 简 图

graph TD
      A[原积分 I] --> B{p <= 0} --> B1[发散];

      A --> C{p > 0} --> D[I = I1 + I2];

      D --> E1[I1];
      D --> E2[I2];

      E1 --> F1{p > 2} --> G1[发散];
      E1 --> F2{p < 2} --> G2[收敛];

      E2 --> F3{p > 1} --> G3[收敛];
      E2 --> F4{p < = 1} --> G4[发散];

      G2 --> H[原积分 I 收敛];
      G3 --> H

准备工作

求解本题，我们首先需要知道如下两个关于反常积分敛散性的公式：

$$
\begin{aligned}
a < b & \Rightarrow \int _{ a } ^ { b } \frac { \mathrm { d } x } { ( x – a ) ^ { p } } \begin{cases} p < 1 , & 收敛 \\ p \geqslant 1 , & 发散 \end{cases} \\ \\ a > 0 & \Rightarrow \int _{ a } ^ { + \infty } \frac { \mathrm { d } x } { x ^ { p } } \begin{cases}
p > 1 , & 收敛 \\ p \leqslant 1 , & 发散
\end{cases}
\end{aligned}
$$

$p$ $\leqslant$ $0$

若：

$$
\begin{cases}
p \leqslant 0 \\ x \rightarrow + \infty
\end{cases}
$$

有：

$$
\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } = \frac{+\infty}{0} \rightarrow + \infty
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } +\infty \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = +\infty
\end{aligned}
$$

所以 $\int _{ 0 } ^ { + \infty }$ $\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 发散，排除 C 选项和 D 选项。

$p$ $>$ $0$

当 $p > 0$ 时，由于：

$$
\begin{aligned}
\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { 1 } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x + \int _{ 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x
\end{aligned}
$$

接着，可令：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int _{ 0 } ^ { 1 } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
I_{2} & = \int _{ 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x
\end{aligned}
$$

判断 $I_{1}$ 的敛散性

Note

判断 $I_{1}$ 的敛散性，我们需要借助前面提到的 $a < b$ $\Rightarrow$ $\int _{ a } ^ { b } \frac { \mathrm { d } x } { ( x – a ) ^ { q } }$ $\begin{cases}
q < 1 , & 收敛 \\ q \geqslant 1 , & 发散
\end{cases}$ 这个公式。

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首先，由于：

$$
\begin{aligned}
\lim _{ x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }}{1/(x^{p-1})} \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0^{+}} x ^ { p – 1 } \cdot \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(1+x)}{x} \\ \\
& = 1 \neq 0
\end{aligned}
$$

因此，根据无界函数反常积分的比阶审敛法可知，$I_{1}$ $=$ $\int_{0}^{1}$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$ $\mathrm{~d} x$ 与 $\int_{0}^{1}$ $\frac{1}{x^{p-1}}$ $\mathrm{~d} x$ $=$ $\int_{0}^{1}$ $\frac{1}{(x-0)^{p-1}}$ $\mathrm{~d} x$ 具有相同的敛散性。

于是可知：

*当 $p – 1$ $\geqslant$ $1$ 时，$I_{1}$ 发散；

**当 $p – 1$ $<$ $1$ 时，$I_{1}$ 收敛——也就是说，当 $0$ $<$ $p$ $<$ $2$ 时，$I _{ 1 }$ 收敛。

判断 $I_{2}$ 的敛散性

Note

判断 $I_{2}$ 的敛散性，我们需要借助前面提到的 $a > 0$ $\Rightarrow$ $\int _{ a } ^ { + \infty }$ $\frac { \mathrm { d } x } { x ^ { p } }$ $\begin{cases}
p > 1 , & 收敛 \\ p \leqslant 1 , & 发散
\end{cases}$ 这个公式。

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首先，当 $p$ $>$ $1$ 时，一定存在 $\delta$ $>$ $0$, 使得 $p – \delta$ $>$ $1$, 此时 $\int_{1}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p-\delta}}$ $\mathrm{~d} x$ 收敛，且：

$$
\begin{aligned}
\lim _{ x \rightarrow + \infty } \frac{\frac{\ln(1+x)}{x^{p}}}{1/(x^{p – \delta})} \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow + \infty } x ^ { p – \delta } \cdot \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { \delta } } \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$

因此，根据无穷限反常积分的比阶审敛法可知，$I_{2}$ $=$ $\int _{ 1 } ^ { + \infty }$ $\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 与 $\int_{1}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p-\delta}}$ $\mathrm{~d} x$ 具有相同的敛散性。

因此，当 $p$ $>$ $1$ 时，$I_{2}$ 收敛。

当 $0$ $<$ $p$ $\leqslant 1$ 时，由于：

$$
\begin{aligned}
\lim _{ x \rightarrow + \infty } \frac{\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }}{1/x^{p}} \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow + \infty } x ^ { p } \cdot \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \\ \\
& = + \infty
\end{aligned}
$$

于是，根据扩展的无穷限和无界函数的反常积分审敛法可知，当 $0$ $<$ $p$ $\leqslant 1$ 时，积分 $I_{2}$ 发散。

结论

只有当 $0$ $<$ $p$ $<$ $2$, 且 $1$ $<$ $p$ 的时候，积分 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 都收敛。

因此，原积分 $I$ $=$ $\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 只有在 $1$ $<$ $p$ $<$ $2$ 的时候，才会收敛。

综上可知，本 题 应 选 A