一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
如果要使积分 $I$ $=$ $\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 收敛,则 $p$ 需要满足以下哪个条件?
(A). $1$ $<$ $p$ $<$ $2$
(C). $p$ $\leqslant$ $0$
(B). $1$ $\leqslant$ $p$ $\leqslant 2$
(D). $p$ $<$ $-1$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
解 题 思 路 简 图
graph TD A[原积分 I] --> B{p <= 0} --> B1[发散]; A --> C{p > 0} --> D[I = I1 + I2]; D --> E1[I1]; D --> E2[I2]; E1 --> F1{p > 2} --> G1[发散]; E1 --> F2{p < 2} --> G2[收敛]; E2 --> F3{p > 1} --> G3[收敛]; E2 --> F4{p < = 1} --> G4[发散]; G2 --> H[原积分 I 收敛]; G3 --> H
准备工作
求解本题,我们首先需要知道如下两个关于反常积分敛散性的公式:
$$
\begin{aligned}
a < b & \Rightarrow \int _{ a } ^ { b } \frac { \mathrm { d } x } { ( x – a ) ^ { p } } \begin{cases} p < 1 , & 收敛 \\ p \geqslant 1 , & 发散 \end{cases} \\ \\ a > 0 & \Rightarrow \int _{ a } ^ { + \infty } \frac { \mathrm { d } x } { x ^ { p } } \begin{cases}
p > 1 , & 收敛 \\ p \leqslant 1 , & 发散
\end{cases}
\end{aligned}
$$
$p$ $\leqslant$ $0$
若:
$$
\begin{cases}
p \leqslant 0 \\ x \rightarrow + \infty
\end{cases}
$$
有:
$$
\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } = \frac{+\infty}{0} \rightarrow + \infty
$$
因此:
$$
\begin{aligned}
\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { + \infty } +\infty \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = +\infty
\end{aligned}
$$
所以 $\int _{ 0 } ^ { + \infty }$ $\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 发散,排除 C 选项和 D 选项。
$p$ $>$ $0$
当 $p > 0$ 时,由于:
$$
\begin{aligned}
\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
& = \int _{ 0 } ^ { 1 } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x + \int _{ 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x
\end{aligned}
$$
接着,可令:
$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int _{ 0 } ^ { 1 } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x \\ \\
I_{2} & = \int _{ 1 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \mathrm { ~ d } x
\end{aligned}
$$
判断 $I_{1}$ 的敛散性
Note
判断 $I_{1}$ 的敛散性,我们需要借助前面提到的 $a < b$ $\Rightarrow$ $\int _{ a } ^ { b } \frac { \mathrm { d } x } { ( x – a ) ^ { q } }$ $\begin{cases}
zhaokaifeng.com
q < 1 , & 收敛 \\ q \geqslant 1 , & 发散
\end{cases}$ 这个公式。
首先,由于:
$$
\begin{aligned}
\lim _{ x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }}{1/(x^{p-1})} \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0^{+}} x ^ { p – 1 } \cdot \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln(1+x)}{x} \\ \\
& = 1 \neq 0
\end{aligned}
$$
因此,根据无界函数反常积分的比阶审敛法可知,$I_{1}$ $=$ $\int_{0}^{1}$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$ $\mathrm{~d} x$ 与 $\int_{0}^{1}$ $\frac{1}{x^{p-1}}$ $\mathrm{~d} x$ $=$ $\int_{0}^{1}$ $\frac{1}{(x-0)^{p-1}}$ $\mathrm{~d} x$ 具有相同的敛散性。
于是可知:
*当 $p – 1$ $\geqslant$ $1$ 时,$I_{1}$ 发散;
**当 $p – 1$ $<$ $1$ 时,$I_{1}$ 收敛——也就是说,当 $0$ $<$ $p$ $<$ $2$ 时,$I _{ 1 }$ 收敛。
判断 $I_{2}$ 的敛散性
Note
判断 $I_{2}$ 的敛散性,我们需要借助前面提到的 $a > 0$ $\Rightarrow$ $\int _{ a } ^ { + \infty }$ $\frac { \mathrm { d } x } { x ^ { p } }$ $\begin{cases}
zhaokaifeng.com
p > 1 , & 收敛 \\ p \leqslant 1 , & 发散
\end{cases}$ 这个公式。
首先,当 $p$ $>$ $1$ 时,一定存在 $\delta$ $>$ $0$, 使得 $p – \delta$ $>$ $1$, 此时 $\int_{1}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p-\delta}}$ $\mathrm{~d} x$ 收敛,且:
$$
\begin{aligned}
\lim _{ x \rightarrow + \infty } \frac{\frac{\ln(1+x)}{x^{p}}}{1/(x^{p – \delta})} \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow + \infty } x ^ { p – \delta } \cdot \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { \delta } } \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$
当 $x$ $\rightarrow$ $+\infty$ 的时候,$\ln(1+x)$ 的增长速度远小于 $x^{\delta}$ 的增长速度。具体内容可以查看荒原之梦考研数学的《一个常用的无穷大量的比较公式》这篇文章。
因此,根据无穷限反常积分的比阶审敛法可知,$I_{2}$ $=$ $\int _{ 1 } ^ { + \infty }$ $\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 与 $\int_{1}^{+\infty}$ $\frac{1}{x^{p-\delta}}$ $\mathrm{~d} x$ 具有相同的敛散性。
因此,当 $p$ $>$ $1$ 时,$I_{2}$ 收敛。
当 $0$ $<$ $p$ $\leqslant 1$ 时,由于:
$$
\begin{aligned}
\lim _{ x \rightarrow + \infty } \frac{\frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }}{1/x^{p}} \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow + \infty } x ^ { p } \cdot \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } } \\ \\
& = + \infty
\end{aligned}
$$
于是,根据扩展的无穷限和无界函数的反常积分审敛法可知,当 $0$ $<$ $p$ $\leqslant 1$ 时,积分 $I_{2}$ 发散。
结论
只有当 $0$ $<$ $p$ $<$ $2$, 且 $1$ $<$ $p$ 的时候,积分 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 都收敛。
因此,原积分 $I$ $=$ $\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 只有在 $1$ $<$ $p$ $<$ $2$ 的时候,才会收敛。
综上可知,本 题 应 选 A