扩展的无穷限和无界函数的反常积分审敛法

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将给出扩展的无穷限的反常积分比阶审敛法和扩展的无界函数的反常积分比阶审敛法。

二、正文

扩展的无穷限的反常积分比阶审敛法

已知，函数 $f(x)$, $g(x)$ 在区间 $[a,+\mathrm{\infty })$ 内的任意有限区间上可积，$f(x)$, $g(x)$ 非负，且：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$$

则：

[1] 当 $\lambda$ $\ne$ $0$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 在大小上是同阶的，因此，${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 具有 相 同 的 敛 散 性 ；

[2] 当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $g(x)$ 在大小上比 $f(x)$ 高阶，因此，若 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 收 敛 ，则 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收 敛 ；若 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 发 散 ，则 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 发 散 ；

[3] 当 $\lambda$ $=$ $\mathrm{\infty }$ 时，$f(x)$ 在大小上比 $g(x)$ 高阶，因此，若 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收 敛 ，则 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 收 敛 ；若 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 发 散 ，则 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 发 散 。

扩展的无界函数的反常积分比阶审敛法

已知，函数 $f(x)$, $g(x)$ 在 $(a,b]$ 内的任意有限区间上可积，$f(x)$, $g(x)$ 非负，且：

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$$

则：

[1] 当 $\lambda$ $\ne$ $0$ 时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 在大小上是同阶的，因此，${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 与 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 具有 相 同 的 敛 散 性 ；

[2] 当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $g(x)$ 在大小上比 $f(x)$ 高阶，因此，若 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 收 敛 ，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收 敛 ；若 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 发 散 ，则 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 发 散 ；

[3] 当 $\lambda$ $=$ $\mathrm{\infty }$ 时，$f(x)$ 在大小上比 $g(x)$ 高阶，因此，若 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 收 敛 ，则 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 收 敛 ；若 ${\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$ 发 散 ，则 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 发 散 。

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