在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数

一、题目

A. $a=2$, $b=8$, $c=10$

B. $a=2$, $b=8$, $c=-10$

C. $a=1$, $b=–8$, $c=10$

D. $a=1$, $b=–8$, $c=–10$

难度评级：

二、解析

由题目已知条件，我们可以令：

$$\mathit{A}=({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3)=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& –2\\ 1& –2& 1\\ a& b& c\end{array}\right]$$

同时，根据对题目的等价转化往往就是解题的突破口的思想，我们知道：

*“$\mathit{\beta }$ 可由 ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, ${\mathit{\alpha }}_3$ 线性表示”，就是说方程组 $\mathit{A}x=\mathit{\beta }$ 有解，即 $r(\mathit{A})$ $=$ $r(\mathit{A},\mathit{\beta })$
**“且表示方法不唯一”，就是说方程组 $\mathit{A}x=\mathit{\beta }$ 有无穷多解。

因此：

$$r(\mathit{A})=r(\mathit{A},\mathit{\beta })<3$$

又因为，在矩阵 $\mathit{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& –2\\ 1& -2& 1\\ a& b& c\end{array}\right]$ 中，我们可以找到二阶子式：

$$\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& –2\end{array}\right|\ne 0$$

因此：

$$r(\mathit{A})⩾2$$

即：

$$3>r(\mathit{A})⩾2$$

于是：

$$r(\mathit{A})=a=2$$

接下来开始求解 $b$ 的取值。

对矩阵 $(\mathit{A},\mathit{\beta })$ 作初等行变换：

$$\begin{array}{r}(\mathit{A},\mathit{\beta })\\ \\ & =\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& –2& ⋮& 1\\ 1& –2& 1& ⋮& 2\\ 2& b& c& ⋮& 0\end{array}\right]\\ \\ & \to \left[\begin{array}{ccccc}1& 0& –1& ⋮& \frac{4}{3}\\ \\ 0& 1& –1& ⋮& \frac{-1}{3}\\ \\ 0& 0& b+c+2& ⋮& \frac{1}{3}b–\frac{8}{3}\end{array}\right]\\ \\ & \to \end{array}$$

由于 $r(\mathit{A})$ $=$ $r(\mathit{A},\mathit{\beta })$ $=$ $2$, 且 $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|$ $\ne$ $0$, 因此：

$$\{\begin{array}{l}b+c+2=0,\\ \frac{1}{3}b–\frac{8}{3}=0\end{array}$$

于是，得：

$$\{\begin{array}{l}b=8\\ c=–10\end{array}$$

实战经验

当然，在实际的考试中，我们没必要像上面一样，把矩阵 $(\mathit{A},\mathit{\beta })$ 化简得那么“彻底”之后再去求其中的未知数。

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例如，我们只需要化简成下面这样：

$$\begin{array}{rl}& (\mathit{A},\mathit{\beta })=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& –2& ⋮& 1\\ 1& –2& 1& ⋮& 2\\ 2& b& c& ⋮& 0\end{array}\right]\\ \\ & \underrightarrow{\text{ 第2行减第1行 }}\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& –2& ⋮& 1\\ 0& –3& 3& ⋮& 1\\ 2& b& c& ⋮& 0\end{array}\right]\\ \\ & \underrightarrow{\text{ 第3行减第1行的二倍 }}\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& –2& ⋮& 1\\ 0& –3& 3& ⋮& 1\\ 0& b-2& c+4& ⋮& -2\end{array}\right]\end{array}$$

由于 $r(\mathit{A},\mathit{\beta })$ $=$ $2$, 且矩阵 $(\mathit{A},\mathit{\beta })$ 的前两行中刚好存在一个不等于零的二阶子式 $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -3\end{array}\right|$, 因此，矩阵 $(\mathit{A},\mathit{\beta })$ 的第 $2$ 行与第 $3$ 行一定成比例，使得第 $3$ 行可以被消为元素全为 $0$ 的行, 即：

$$\{\begin{array}{l}\frac{b-2}{-3}=\frac{-2}{1}\\ \\ \frac{c+4}{3}=\frac{-2}{1}\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}b-2=6\\ c+4=-6\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}b=8\\ c=-10\end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 B

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