通过全微分确定二元函数的非条件极值

一、题目

(A) 无极值点

(B) 点 $(a,a)$ 为极小值点

(C) 点 $(a,a)$ 为极大值点

(D) 是否有极值点与 $a$ 的取值有关

难度评级：

二、解析

首先，根据全微分的定义，通过 $\mathrm{d}z$ $=$ $(ay-x^2)\mathrm{d}x$ $+$ $(ax-y)\mathrm{d}y$, 我们可以知道函数 $z(x,y)$ 对分别对 $x$ 和 $y$ 的一阶偏导如下：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial x}=ay-x^2\\ \frac{\partial z}{\partial y}=ax-y^2\end{array}$$

为什么我们要先找出来一阶偏导函数呢？因为，函数的极值点就是一阶偏导函数等于零的点。为了解答题目中关于极值点的问题，我们首先就要找到所有可能的极值点，于是，令：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial x}=ay-x^2=0\\ \frac{\partial z}{\partial y}=ax-y^2=0\end{array}$$

对上面的式子联立求解：

$$\{\begin{array}{l}y=\frac{x^2}{a}\\ ax=\frac{x^4}{a^2}\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}y=\frac{x^2}{a}\\ a^{3}x=x^4\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\text{ 或 }\{\begin{array}{l}x=a\\ y=a\end{array}$$

根据二元函数非条件极值的定义，我们有：

$$\begin{array}{rl}A=& \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=-2x\\ B=& \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=a\\ C=& \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=-2y\end{array}$$

于是，当 $x=0$, $y=0$ 的时候：

$$\{\begin{array}{l}A=0\\ B=a\\ C=0\end{array}\Rightarrow AC–B^2=-a^2<0$$

所以，点 $(0,0)$ 不是函数 $z(x,y)$ 的极值点。

当 $x=a$, $y=a$ 的时候：

$$\{\begin{array}{l}A=-2a<0\\ B=a\\ C=-2a\end{array}\Rightarrow AC-B^2=3a^2>0$$

综上可知，只有 $(a,a)$ 是函数 $z(x,y)$ 的极值点，且为极大值点。

本题应选 C .

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