通过全微分确定二元函数的非条件极值

一、题目

(A) 无极值点

(B) 点 $(a, a)$ 为极小值点

(C) 点 $(a, a)$ 为极大值点

(D) 是否有极值点与 $a$ 的取值有关

难度评级：

二、解析

首先，根据全微分的定义，通过 $\mathrm{~d} z$ $=$ $\left(a y-x^{2}\right) \mathrm{~d} x$ $+$ $(a x-y) \mathrm{~d} y$, 我们可以知道函数 $z(x, y)$ 对分别对 $x$ 和 $y$ 的一阶偏导如下：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial z}{\partial x}=a y-x^{2} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=a x-y^{2}
\end{cases}
$$

为什么我们要先找出来一阶偏导函数呢？因为，函数的极值点就是一阶偏导函数等于零的点。为了解答题目中关于极值点的问题，我们首先就要找到所有可能的极值点，于是，令：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial z}{\partial x}=a y-x^{2}=0 \\ \frac{\partial z}{\partial y}=a x-y^{2}=0
\end{cases}
$$

对上面的式子联立求解：

$$
\begin{cases}
y = \frac{x^{2}}{a} \\
ax = \frac{x^{4}}{a^{2}}
\end{cases} \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
y = \frac{x^{2}}{a} \\
a^{3}x = x^{4}
\end{cases} \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
x = 0 \\
y = 0
\end{cases} \text{ 或 } \begin{cases}
x = a \\
y = a
\end{cases}
$$

根据二元函数非条件极值的定义，我们有：

$$
\begin{aligned}
A = & \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=-2 x \\
B = & \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=a \\
C = & \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=-2 y
\end{aligned}
$$

于是，当 $x = 0$, $y = 0$ 的时候：

$$
\begin{cases}
A = 0 \\
B = a \\
C = 0
\end{cases} \Rightarrow AC – B^{2} = -a^{2} < 0
$$

所以，点 $(0, 0)$ 不是函数 $z(x, y)$ 的极值点。

当 $x = a$, $y = a$ 的时候：

$$
\begin{cases}
\textcolor{springgreen}{ A = -2a < 0} \\ B = a \\ C = -2a \end{cases} \Rightarrow \textcolor{springgreen}{A C-B^{2}=3 a^{2}>0}
$$

综上可知，只有 $(a, a)$ 是函数 $z(x, y)$ 的极值点，且为极大值点。

本题应选 C .

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