2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算

一、题目

$f (u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且：

$g (x, y)$ $=$ $f (2 x + y, 3 x - y)$

$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $+$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ $-$ $6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $1$

(1) 求 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ 的值;

(2)若 $\frac{\partial f (u, 0)}{\partial u}$ $=$ $u e^{- u}$ , $f (0, v)$ $=$ $\frac{1}{50} v^{2}$ $-$ $1$ , 求 $f (u, v)$ .

难度评级：

二、解析

第 (1) 问

对于多元复合函数求偏导的问题，我们首先要明白两个关于形式表示上的问题：

[1]. 如果我们用 “ $u$ ” 表示函数 $f$ 的第一组参数 $2 x + y$ , 用 “ $v$ ” 表示函数 $f$ 的第二组参数 $3 x - y$ , 则题目让我们求解 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ , 其实就是求解 $f_{12}^{''}$ .

[2]. 在本题中，由 $g (x, y)$ $=$ $f (2 x + y, 3 x - y)$ 可知：
$\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial x} & 就是 \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial g}{\partial y} & 就是 \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} & 就是 \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \\ \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} & 就是 \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \\ \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} & 就是 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \end{aligned}$

已知 $g (x, y)$ $=$ $f (2 x + y, 3 x - y)$ , 则：

$\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial x} & = 2 f_{1}^{'} + 3 f_{2}^{'} \\ \frac{\partial g}{\partial y} & = f_{1}^{'} - f_{2}^{'} \end{aligned}$

进而：

$\begin{aligned} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} & = 2 (2 f_{11}^{''} + 3 f_{12}^{''}) + 3 (2 f_{21}^{''} + 3 f_{22}^{''}) \\ = 4 f_{11}^{''} + 12 f_{12}^{''} + 9 f_{22}^{''} \\ \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} & = 2 (f_{11}^{''} - f_{12}^{''}) + 3 (f_{21}^{''} - f_{22}^{''}) \\ = 2 f_{11}^{''} + f_{12}^{''} - 3 f_{22}^{''} \\ \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} & = f_{11}^{''} - f_{12}^{''} - (f_{21}^{''} - f_{22}^{''}) \\ = f_{11}^{''} - 2 f_{12}^{''} + f_{22}^{''} \end{aligned}$

于是，由 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $+$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ $-$ $6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $1$ , 得：

$\begin{aligned} 4 f_{11}^{''} + 12 f_{12}^{''} + 9 f_{22}^{''} \\ + 2 f_{11}^{''} + f_{12}^{''} - 3 f_{22}^{''} \\ - 6 (f_{11}^{''} - 2 f_{12}^{''} + f_{22}^{''}) = 1 \end{aligned}$

即：

$f_{12}^{''} = \frac{1}{25} \Rightarrow \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} = \frac{1}{25}$

多元函数的混合偏导与次序无关：
$f_{12}^{''}$ $=$ $f_{21}^{''}$

第 (2) 问

由第 $(1)$ 问可知：

$\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} = \frac{1}{25}$

于是，积分得：

$\begin{aligned} \int \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v} d v \\ = \frac{\partial f}{\partial u} \\ = f_{u}^{'} \\ = \int \frac{1}{25} d v \\ = \frac{1}{25} v + C (u) \end{aligned}$

即：

$\begin{matrix} (1) & f_{u}^{'} (u, v) = \frac{1}{25} v + C (u) \end{matrix}$

又由题知：

$\frac{\partial f (u, 0)}{\partial u} = f_{u}^{'} (u, 0) = u e^{- u}$

于是，将该题目已知条件代入上面的 $(1)$ 式，可得：

$u e^{- u} = \frac{1}{25} \times 0 + C (u) \Rightarrow C (u) = u e^{- u}$

于是：

$f_{u}^{'} (u, v) = \frac{1}{25} v + u e^{- u}$

继续积分，得：

$\begin{aligned} f (u, v) \\ = \int f_{u}^{'} (u, v) d u \\ = \int (\frac{1}{25} v + u e^{- u}) a \\ = \frac{1}{25} v \cdot u + \int u e^{- u} d u \\ = \frac{1}{25} u v - u e^{- u} - e^{- u} + C (v) \end{aligned}$

上面对 $\int u e^{- u} d u$ 的计算，可以参考《和 $e^{x}$ 有关的那些式子》这篇笔记中的第 $5$ 条做题经验总结进行。

即：

$\begin{matrix} (2) & f (u, v) = \frac{1}{25} u v - u e^{- u} - e^{- u} + C (v) \end{matrix}$

又由题知：

$f (0, v) = \frac{1}{50} v^{2} - 1$

于是，将该题目已知条件代入上面的 $(2)$ 式，可得：

$0 - 0 - 1 + c (v) = \frac{1}{50} v^{2} - 1 \Rightarrow$

$C (v) = \frac{1}{50} v^{2}$

综上可得：

$f (u, v) = \frac{1}{25} u v - e^{- u} (u + 1) + \frac{1}{50} v^{2}$

2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算

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