2024年考研数二第19题解析：旋转体的体积与最值

一、题目

难度评级：

二、解析

在本题中，直线 $x = t$ 和 $x = 2t$ 的相对位置可以大致确定，但是函数 $y=\sqrt{x} e^{-x}$ 的函数图像则不容易确定。但是，和这道题目类似，求解旋转体体积的时候，我们并不需要像某些积分题目一样绘制出具体的函数图像，只需要直接按照有关公式和性质，对旋转体的体积做计算即可。

本题中的函数图像是函数 $y(x)$ 绕 $X$ 轴旋转形成的，根据对应的旋转体计算公式，可得：

$$
\begin{aligned}
V(t) \\ \\
& = \int_{t}^{2 t} \pi (\sqrt{x} e^{-x})^{2} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \textcolor{orangered}{\int_{t}^{2 t} \pi x e^{-2 x} \mathrm{~d} x}
\end{aligned}
$$

注意：
由于接下来还需要进行求导运算，因此，对于上面的 $V(t)$ $=$ $\int_{t}^{2 t} \pi x e^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 不需要继续进行积分运算了。

于是：

$$
\begin{aligned}
V^{\prime}(t) \\ \\
& = \textcolor{orangered}{\pi x e^{-2x}} \Big|_{t}^{2t} \\ \\
& = \left( 2 t \mathrm{e}^{-4 t} \cdot (2 t)^{\prime}_{t}-t \mathrm{e}^{-2 t} \right) \cdot \pi \\ \\
& = \left( 2 t \mathrm{e}^{-4 t} \cdot 2 – t \mathrm{e}^{-2 t} \right) \cdot \pi \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{t \mathrm{e}^{-2 t}\left(4 \mathrm{e}^{-2 t}-1\right) \cdot \pi}
\end{aligned}
$$

若令：

$$
V^{\prime}(t)=0
$$

则：

$$
t=\ln 2
$$

又：

$$
\textcolor{orangered}{
V^{\prime \prime}(t)=4 \mathrm{e}^{-4 t}-16 t \mathrm{e}^{-4 t}+(2 t-1) \mathrm{e}^{-2 t} } \tag{1}
$$

将 $t=\ln 2$ 代入上面的 $(1)$ 式，得：

$$
V^{\prime \prime}(\ln 2) = -\frac{1}{2} \ln 2 \textcolor{yellow}{\boldsymbol{<}} 0
$$

因此，故 $V(t)$ 在 $t = \ln 2$ 处取得最大值, 且最大值为：

$$
\textcolor{springgreen}{
V(\ln 2)=\int_{\ln 2}^{2 \ln 2} \pi x \mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x = \frac{\pi}{16}\left(\ln 2+\frac{3}{4}\right)
}
$$

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