等价无穷小公式的一种“深度用法”

一、题目

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x-1} \ – \ \frac{1}{\ln x} \right) = ?
$$

难度评级：

二、解析

根据等价无穷小公式，我们知道，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：
$\ln (1+x) \sim x$

分析可知，此时：
$1+x \rightarrow 1$

因此可以推知，若有 $\Delta \rightarrow 1$, 则：
$\lim \limits_{\Delta \rightarrow 1} \ln (\Delta) \sim \Delta-1$

进而：
$\lim \limits_{x \rightarrow 1} \ln (x) \sim x-1$

对于题目中的式子：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \left( \frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x} \right)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x \ln x-x+1}{(x-1) \textcolor{springgreen}{\ln x}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x \ln x-x+1}{(x-1) \textcolor{springgreen}{(x+1)}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x \ln x-x+1}{(x-1)^{2}} \Rightarrow \frac{0}{0} \ \text{型} \Rightarrow
$$

洛必达运算：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\textcolor{springgreen}{\ln x} + 1 – 1}{2(x-1)}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\textcolor{springgreen}{x-1}}{2(x-1)}=\frac{1}{2}.
$$

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