不具有什么关系的两个矩阵一定不是相似矩阵？

一、题目

下列选线那个中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

(B) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right]$

(C) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

(D) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$

难度评级：

二、解析

两个矩阵之间没有如下关系的一定不是相似矩阵（矩阵相似的必要条件）：

§ 秩相等
§ 行列式的值相等
§ 特征值相同
§ 主对角线上的元素相同
§ 总结为四个字就是“秩值征主”——这四个字中有任意一个不相同的都不相似

由于 B, D 选项中，主对角线上的元素不相同，不可能是相似矩阵。

A 选项中两个矩阵的秩不相等，不可能是相似矩阵。

综上可知，本题应选 C.

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