不具有什么关系的两个矩阵一定不是相似矩阵？

一、题目

下列选线那个中，矩阵 $\mathit{A}$ 和 $\mathit{B}$ 相似的是哪个？

(A) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}2& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{lll}2& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

(B) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 3& -1\\ 0& -1& 5\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right]$

(C) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}2& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{lll}2& 3& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

(D) $\mathit{A}=\left[\begin{array}{lll}2& & \\ & 2& \\ & & -3\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{lll}1& & \\ & 3& \\ & & -2\end{array}\right]$

难度评级：

二、解析

两个矩阵之间没有如下关系的一定不是相似矩阵（矩阵相似的必要条件）：

§ 秩相等
§ 行列式的值相等
§ 特征值相同
§ 主对角线上的元素相同
§ 总结为四个字就是“秩值征主”——这四个字中有任意一个不相同的都不相似

由于 B, D 选项中，主对角线上的元素不相同，不可能是相似矩阵。

A 选项中两个矩阵的秩不相等，不可能是相似矩阵。

综上可知，本题应选 C.

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