在矩阵转置和求逆运算中，系数应该遵循什么运算规则？

一、题目

已知 $\mathit{A},\mathit{B}$ 均 $n$ 阶可逆矩阵, 正确的公式为：

(A) $(3\mathit{A}\mathit{B}{)}^{\mathrm{\top }}=\frac{1}{3}{\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}$

(B) $(5\mathit{A}\mathit{B}{)}^{-1}=5{\mathit{B}}^{-1}{\mathit{A}}^{-1}$

(C) $(\mathit{A}+\mathit{B}{)}^{-1}={\mathit{A}}^{-1}+{\mathit{B}}^{-1}$

(D) $(3\mathit{A}+5\mathit{B}{)}^{\mathrm{\top }}=3{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}+5{\mathit{B}}^{\mathrm{\top }}$

难度评级：

二、解析

A 选项的正确运算：

$$(3AB{)}^{\mathrm{\top }}=3B^{\mathrm{\top }}{A}^{\mathrm{\top }}$$

B 选项的正确运算：

$$(5AB{)}^{-1}=\frac{1}{5}{B}^{-1}{A}^{-1}$$

C 选项的正确运算：

一般情况下：

$$(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$$

D 选项本身就是正确：

$$(3A+5B{)}^{\mathrm{\top }}=3A^{\mathrm{\top }}+5B^{\mathrm{\top }}$$

综上可知，本题应选 D.

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