注意命题表述的区别：“则”是单向的，“等价”是双向的

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, 则下列命题中正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O} \textcolor{orangered}{ \Leftrightarrow } \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ 且 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$
(B) 如 $A B=O$, 则必有 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
(C) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
(D) 如 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$

难度评级：

二、解析

(A):

$$
A B \neq O \Rightarrow A \neq O \text { 且 } B \neq O
$$

$$
A \neq O \text { 且 } B \neq O \nRightarrow A B \neq O
$$

例如：

$$
A=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right] \Rightarrow A B=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]
$$

根据 (A) 选项的例子可知，(B) 选项也是错误的。

(C)

$$
A B=0 \Rightarrow|A B|=0 \Rightarrow|A||B|=0 \Rightarrow
$$

$$
|A|=0 \text { 或 }|B|=0
$$

(D)

反例 1:

$$
B=0, A \neq E \Rightarrow A B=B=O
$$

反例 2:

$$
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow A B=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]=B
$$

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