对代数余子式之和的求解可以转换为对行列式的求解

一、题目

已知，行列式 $D=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|$, 则该行列式第一行元素的代数余子式之和等于多少？

难度评级：

二、解析

$$
A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=
$$

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 4 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|=
$$

$$
(-1)^{3+4} \cdot 3\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & 0 & 0\end{array}\right|=
$$

$$
(-1)^{3+4} \cdot 3 \cdot(-1)^{3+1} \cdot 4 \cdot\left|\begin{array}{l}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array}\right|=
$$

$$
-12 \times 0=0
$$

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